Exercícios Resolvidos de Método da Variação dos Parâmetros

UNICAMP, Cálculo 3, P1 - 2019.1, Questão 3

3)a - Resolva a equação x 2 y ' ' + 5 x y ' + 4 y = 0 , x > 0 .

b - Determine uma solução particular da equação x 2 y ' ' + 5 x y ' + 4 y = 1 x 2 , x > 0 .

Sugestão: a equação de Euler pode ser reduzida a uma EDO com coeficientes constantes através da substituição x = e z .

Passo 1

Letra a:

Ouvi dizer em equação de Euler???

x 2 y ' ' + 5 x y ' + 4 y = 0

Então a solução é essa daqui, óh:

y = x r

Agora é só procurar r , bora?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiro calculando as derivadas...

y ' = r x r - 1

y ' ' = r r - 1 x r - 2

Agora é só substituir mesmo:

x 2 y ' ' + 5 x y ' + 4 y = 0

x 2 r r - 1 x r - 2 + 5 x r x r - 1 + 4 x r = 0

r r - 1 x r - 2 + 2 + 5 r x r - 1 + 1 + 4 x r = 0  

r r - 1 x r + 5 r x r + 4 x r = 0  

r r - 1 x r + 5 r x r + 4 x r = 0  

x r r r - 1 + 5 r + 4 = 0

Como x r estamos colocando diferente de 0 , quem está no colchetes deve ser para satisfazer a igualdade...

r r - 1 + 5 r + 4 = 0

Passo 3

Resolvendo essa equação em r ...

r 2 - r + 5 r + 4 = 0

r 2 + 4 r + 4 = 0

r 1 = - 2     e     r 2 = - 2

Como r 1 = r 2 = - 2 , estamos no caso de = 0 e portanto uma das respostas da nossa EDO é:

y 1 = x r 1 = x - 2

A outra será colocando um ln x na frente

y 2 = ln x x - r 2 = ln x x - 2

E a resposta completa é a combinação das duas:

y = c 1 y 1 + c 2 y 2    

y = c 1 x - 2 + c 2 ln x x - 2

Passo 4

Letra b:

Pois bem, agora que temos duas soluções linearmente independentes para a homogênea, podemos resolver a não homogênea pelo método Variação de Parâmetros, se lembra dele? Ora, a solução será essa daqui, oh:

y = f 1 y 1 + f 2 y 2

Onde...

f 1 = y 2 B x M d x

f 2 = - y 1 B x M d x

M = det y 1 ' y 2 ' y 1 y 2  

E o B x é o que torna na nossa EDO não homogênea:

x 2 y ' ' + 5 x y ' + 4 y = B x  

x 2 y ' ' + 5 x y ' + 4 y = 1 x 2

Ou seja...

B x = 1 x 2

Bora pros cálculos então?

Passo 5

Primeiro, calculemos o M ...

M = det y 1 ' y 2 ' y 1 y 2  

M = det - 2 x - 3 1 x x - 2 - 2 ln x x - 3 x - 2 ln x x - 2  

M = det - 2 x - 3 x - 3 - 2 ln x x - 3 x - 2 ln x x - 2  

Ora, o determinante de matrizes dois por dois a gente conhece:

M = - 2 x - 3 ln x x - 2 - x - 3 - 2 ln x x - 3 x - 2  

M = - 2 x - 5 ln x - x - 5 - 2 ln x x - 5  

M = - 2 x - 5 ln x - x - 5 + 2 ln x x - 5  

M = - x - 5

Passo 6

Show! Acho que já podemos calcular quem é esse:

f 1 = y 2 B x M d x  

f 1 = ln x x - 2 1 x 2 - x - 5 d x  

f 1 = - ln x x - 4 x - 5 d x  

f 1 = - ln x x - 4 x 5 d x  

f 1 = - x ln x d x  

Essa integral aqui se resolve por intgeração por partes, veja:

u = ln x                   e                       d v = x d x

d u = 1 x d x                   e                       v = x 2 2

x ln x d x = x 2 2 ln x - x 2 2 1 x d x  

x ln x d x = x 2 2 ln x - 1 2 x d x  

x ln x d x = x 2 2 ln x - 1 2 x 2 2 + c 1

Então...

f 1 = - x ln x d x = - x 2 2 ln x - x 2 4 + c 1 =

x 2 4 - x 2 2 ln x + c 1

Passo 7

Para encontrar f 2 calculemos a outra integral de Variação separável que conhecemos lá da Teoria:

f 2 = - y 1 B x M d x  

f 2 = - x - 2 1 x 2 - x - 5 d x  

f 2 = x - 4 x - 5 d x  

f 2 = x d x =

x 2 2 + c 2

Passo 8

Beleza! Com essas duas funções encontradas, podemos substituir na equação da solução:

y = f 1 y 1 + f 2 y 2  

y = x 2 4 - x 2 2 ln x + c 1 ln x x - 2 + x 2 2 + c 2 x - 2  

“Arrumando a casa” multiplicando esses caras...

y = x 2 ln x x - 2 4 - x 2 2 ln x ln x x - 2 + c 1 ln x x - 2 + x 2 x - 2 2 + c 2 x - 2  

y = ln x 4 - 1 2 ln 2 x + c 1 ln x x - 2 + 1 2 + c 2 x - 2  

Podemos ainda deixar a solução da homogênea de um lado (em negrito) e a da particular será o que sobrar:

y = c 1 ln x x - 2 + c 2 x - 2 + ln x 4 - 1 2 ln 2 x + 1 2

Resposta

Letra a:

y = c 1 x - 2 + c 2 ln x x - 2

Letra b:

y = c 1 ln x x - 2 + c 2 x - 2 + ln x 4 - 1 2 ln 2 x + 1 2

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