Exercícios Resolvidos de Método da Variação dos Parâmetros

Unicamp, Cálculo 3, 2019.2, P1, Questão 3.

Considere a equação diferencial

x 2 - 1 y ' ' - 2 y ' + 2 y = x 2 - 1 ,           x > 1 .           ( * )

Dado que a solução complementar de (*) é y c = c 1 x + c 2 1 + x 2 , use o método de variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular da equação (*).

Passo 1

Ok, essa equação parece um pouco complicada, mas vamos juntos relembrar de como se usa o método de variação dos parâmetros pra sair dessa confusão.

Vamos voltar lá atrás. Imagina que você dá de cara com uma equação com essa forma aqui:

y ' ' + q x y ' + r x y = g ( x )

E você já conseguiu encontrar (ou já te deram!) uma solução complementar que tem essa forma aqui:

y c = c 1 y 1 x + c 2 y 2 x

Nesse caso, existe uma fórmula pra encontrar a solução particular da equação, que é essa:

Y P x = - y 1 ∫ y 2 g x W y 1 , y 2 d x + y 2 ∫ y 1 g x W y 1 , y 2 d x

Meio confuso, né? Mas vamos com calma descobrir quem é quem nessa fórmula aí de cima.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiro vamos escrever a equação do enunciado naquele formato “padrão”:

y ' ' + q x y ' + r x y = g ( x )

A equação do enunciado é essa aqui:

x 2 - 1 y ' ' - 2 y ' + 2 y = x 2 - 1

Divivindo tudo por x 2 - 1 :

y ' ' - 2 x 2 - 1 y ' + 2 x 2 - 1 y = 1

Agora, comparando as duas equações:

q x = - 2 x 2 - 1 r x = 2 x 2 - 1 g x = 1

Tá, desses aí o que a gente vai precisar mesmo é o g x . Deixa isso guardado aí e vamos em frente.

Passo 3

O enunciado disse que a solução complementar é essa aqui:

y c = c 1 x + c 2 1 + x 2

Comparando isso com:

y c = c 1 y 1 x + c 2 y 2 x

Dá pra ver que:

y 1 x = x y 2 x = 1 + x 2

Tá, agora só falta calcular aquele W y 1 , y 2 , o famoso Wronskiano, que é o determinante de uma matriz:

W y 1 , y 2 = y 1 y 2 y 1 ' y 2 '

Ok, pra calcular isso nós vamos precisar das derivadas de y 1 x e y 2 x :

y 1 x = x y 2 x = 1 + x 2         ⇒           y 1 ' x = 1 y 2 ' x = 2 x        

Então:

W y 1 , y 2 = x 1 + x 2 1 2 x

W y 1 , y 2 = 2 x 2 - 1 + x 2

W y 1 , y 2 = x 2 - 1

Beleza, agora a gente já tem tudo pra substituir na fórmula da solução particular.

Passo 4

Relembrando o passo 1 , a fórmula era essa aqui:

Y P x = - y 1 ∫ y 2 g x W y 1 , y 2 d x + y 2 ∫ y 1 g x W y 1 , y 2 d x

Vamos lembrar de tudo que a gente calculou:

y 1 x = x y 2 x = 1 + x 2 W y 1 , y 2 = x 2 - 1 g x = 1

Então, substituindo:

Y P x = - x ∫ x 2 + 1 x 2 - 1 d x + 1 + x 2 ∫ x x 2 - 1 d x

Agora vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Começando pela segunda, que é mais simples:

∫ x x 2 - 1 d x

Nessa fração, o numerador é a derivada do denominador, então estamos falando da derivada de um logaritmo!

∫ x x 2 - 1 d x = 1 2 ln ⁡ x 2 - 1

Uma dica: aqui não faz diferença colocar a constante na solução da integral. No final das contas ela ia simplesmente te devolver a solução complementar, então vamos deixar sem as constantes.

Então tá, por enquanto estamos assim:

Y P x = - x ∫ x 2 + 1 x 2 - 1 d x + 1 2 1 + x 2 ln ⁡ x 2 - 1

Agora vamos olhar para a integral da esquerda.

Passo 5

A integral é essa aqui:

I = ∫ x 2 + 1 x 2 - 1 d x

Vamos usar um velho truque pra simplificar essa fração: somar e subtrair 1 .

x 2 + 1 x 2 - 1 = x 2 - 1 + 2 x 2 - 1 = x 2 - 1 x 2 - 1 + 2 x 2 - 1 = 1 + 2 x 2 - 1

Então:

I = ∫ x 2 + 1 x 2 - 1 d x = ∫ 1 + 2 x 2 - 1 d x

E agora temos que decompôr a fração da direita em frações parciais. Lembra como se faz isso?

Primeiro temos que notar que aquele denominador ali é uma diferença de quadrados:

2 x 2 - 1 = 2 x - 1 x + 1

E então as frações parciais são:

2 x - 1 x + 1 = A x - 1 + B x + 1

Multiplicando tudo por x - 1 x + 1 :

2 = A x + 1 + B x - 1

2 = A + B x + A - B

Então, a solução dessa equação exige que:

A + B = 0 A - B = 2

Somando as duas equações, você descobre que:

A + B + A - B = 2

2 A = 2

A = 1

E então:

B = - 1

Voltando lá na integral, isso quer dizer que:

I = ∫ 1 + 2 x 2 - 1 d x = ∫ 1 + 1 x - 1 - 1 x + 1 d x

E agora já dá pra integrar:

I = x + ln ⁡ | x - 1 | - ln ⁡ | x + 1 |

Passo 6

Agora (finalmente), substituindo lá na fórmula da solução particular:

Y P x = - x ∫ x 2 + 1 x 2 - 1 d x + 1 2 1 + x 2 ln ⁡ x 2 - 1

Y P x = - x x + ln ⁡ | x - 1 | - ln ⁡ | x + 1 | + 1 2 1 + x 2 ln ⁡ x 2 - 1

Simplificando um pouco:

Y P x = - x 2 - x ln ⁡ | x - 1 | + x ln ⁡ | x + 1 | + 1 2 ln ⁡ x 2 - 1 + 1 2 x 2 ln ⁡ x 2 - 1

Lembrando que ln ⁡ a b = ln ⁡ a - ln ⁡ b :

Y P x = x ln ⁡ x + 1 x - 1 + 1 2 ln ⁡ x 2 - 1 x 2 + 1 - x 2

Beleza, essa é a solução particular da equação.

Resposta

A solução particular da equação é: Y P x = x ln ⁡ x + 1 x - 1 + 1 2 ln ⁡ x 2 - 1 x 2 + 1 - x 2 .

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