Exercícios Resolvidos de Método da Variação dos Parâmetros

UFPE, Cálculo 4, PF - 2018.1, Questão 2ab

Dada a equação diferencial de segunda ordem y ' ' + y = 0 ,

  1. Usando o método dos coeficientes a determinar resolva o problema de valor inicial
  2. y ' ' + y = cos x

    y 0 = y ' 0 = - 1

  3. Resolva a equação diferencial

y ' ' + y = 1 cos x ,     - π 2 < x < π 2

Passo 1

Show, vamos primeiro resolver o problema de valor inicial da letra (a). A solução será dada pela soma da solução da parte homogênea com a parte particular:

y x = y h x + y p x

Começamos com a parte homogênea:

y ' ' + y = 0

Temos aqui a equação característica: r 2 + 1 = 0

r = ± - 1

r = ± i

Como a raiz deu imaginária, teremos uma solução na forma de senos e cossenos: y h x = A cos x + B sen x

Agora vamos para a solução particular. Como a parte não homogênea é cos x , buscamos uma solução na forma:

y p x = C x cos x + D x sen x

Em que x aparece para não bater com a solução homogênea. Para achar as constantes, vamos substituir na equação: y p ' ' x + y p x = cos x

Para isso, precisamos da segunda derivada. Vamos calculá-la:

y p ' x = C cos x - C x sen x + D sen x + D x cos x

y p ' ' x = - C sen x - C sen x - C x cos x + D cos x + D cos x - D x sen x

y p ' ' x = - 2 C sen x - C x cos x + 2 D cos x - D x sen x

Agora substituímos na EDO:

- 2 C sen x - C x cos x + 2 D cos x - D x sen x + C x cos x + D x sen x = cos x

- 2 C sen x + 2 D cos x = cos x

Comparamos, vemos que: - 2 C = 0 C = 0

2 D = 1 D = 1 2

Assim, nossa solução particular vai ser: y p x = C x cos x + D x sen x

y p = 1 2 x sen x

Como a solução será a soma das duas: y x = y h x + y p x

y x = A cos x + B sen x + 1 2 x sen x

Agora aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes restantes:

y 0 = A cos 0 + B sen 0 + 1 2 0 sen 0

y 0 = A = - 1

Legal. Achamos A . Para aplicar a outra condição, derivamos:

y ' x = - A sen x + B cos x + 1 2 sen x + 1 2 x cos x

y ' 0 = - A sen 0 + B cos 0 + 1 2 sen 0 + 1 2 0   cos 0 = - 1

y ' 0 = B = - 1

Show, achamos todas as constantes: y x = A cos x + B sen x + 1 2 x sen x

y x = - cos x - sen x + 1 2 x sen x

E é isso!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos para o problema:

y ' ' + y = 1 cos x

Novamente, a solução será dada pela soma da solução da parte homogênea com a parte particular:

y x = y h x + y p x

A solução homogênea já foi encontrada no item anterior:

y h x = A cos x + B sen x

Que está na forma:

y h x = A y 1 + B y 2

y 1 = cos x , y 2 = sen x

Agora, quanto a solução particular, como não temos parte não homogênea

1 cos x = sec x

Não dá para chutarmos uma solução e encontrar os coeficientes, teremos que usar o método da variação de parâmetros em que

y p x = f 1 y 1 + f 2 y 2

Sendo:

f 1 = y 2 x sec x M d x

f 2 = - y 1 x sec x M d x

Com:

M = y 1 ' y 2 ' y 1 y 2

Assim, vamos calcular cada uma das coisas. Começamos com M :

M = - sen x cos x cos x sen x = - sen 2 x - cos 2 x = - 1

Portanto:

f 1 = y 2 x sec x M d x = sen x sec x - 1 d x

f 1 = - sen x cos x d x

Para essa integral, fazemos a substituição: u = cos x

d u = - sen x d x

Logo, teremos: f 1 = d u u = ln u = ln cos x

Sem constante neste caso, ok? Seguindo:

f 2 = - y 1 x sec x M d x

f 2 = cos x sec x d x = d x = x

Show. Então, nossa solução particular será:

y p x = f 1 y 1 + f 2 y 2

cos x ln cos x + x sen x

Ou seja, como temos:

y x = y h x + y p x

y h x = A cos x + B sen x

y p x = f 1 y 1 + f 2 y 2

Nossa solução final será:

y x = A cos x + B sen x + cos x ln cos x + x sen x

y x = ln cos x + A cos x + x + B sen x

E é isso. 😊

Resposta

y x = ln cos x + A cos x + x + B sen x

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas