Exercícios Resolvidos de Método da Variação dos Parâmetros

USP, Cálculo 4, P-REC - 2018, Questão Q03

(a) Determine a solução geral da equação

9 y ' ' + 18 y ' + 18 y = e - x tan ( x )

(b) Determine a solução do problema de valor inicial

cos x + e x y ' = 0 y 0 = 0

Passo 1

Opa, vamos lá. A questão ta pedindo pra gente achar a solução geral. Show, só que tem um detalhe: a solução geral é a soma da solução homogênea com a solução particular.

y x = y h x + y p ( x )

Então, vamos começar calculando a solução homogênea dessa equação. Como a gente faz isso? Primeiro considera a equação homogênea (é o mesmo que dizer, “iguala a zero”)

9 y ' ' + 18 y ' + 18 y = 0

Agora vamos encontrar a equação característica:

9 r 2 + 18 r + 18 = 0

Podemos simplificar dividindo todo mundo por 9 para deixar as contas mais simples, aí vai ficar:

r 2 + 2 r + 2 = 0

Beleza, agora temos que descobrir as raízes da nossa equação característica:

r = - 2 ± 2 2 - 4.2 . 1 2                   r 1 = - 1 + i                   r 2 = - 1 - i

y h = c 1 e - x cos x + c 2 e - x sen x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bom, agora a gente já sabe qual é a solução homogênea. Partiu descobrir a solução particular?

Vamos dar uma olhada na f x = e - x tan ( x ) . Quando aparece tangente, a gente logo busca a solução particular com o Método da Variação de Parâmetros.Eitaaa, mas como fica isso?

Primeiro, vamos considerar a soluções fundamentais da homogênea...

y 1 ( x ) = e - x cos x e y 2 ( x ) = e - x sen x

E aí, a solução particular vai ficar com essa carinha:

y p = f 1   y 1 x + f 2   y 2 ( x )

Onde...

f 1 = y 2 x B x W d x      

f 2 = - y 1 x B x W d x

Na nossa equção, o B ( x ) que é a função que causa a não homogeneidade da função, ou seja, que não deixa a EDO ser igual a zero, vale:

B X = e - x tan ( x )

Já o Wronskiano, chamado apenas de W para os íntimos, vale:

W = y 1 y 2 y 1 ' y 2 '  

W = e - x cos x e - x sen x - e - x ( sen x + cos x ) e - x ( cos x - sen x )  

W = e - 2 x cos 2 x - sen x cos x - - e - 2 x sen 2 x + sen x cos x  

W = e - 2 x ( cos 2 x + sen 2 x )

Como cos 2 x + sen 2 x = 1 , então vamos ter:

W = e - 2 x

Agora que a gente já sabe o nosso amigo W , vamos calcular f 1 x e f 2 ( x ) :

f 1 = y 2 x B x W d x = e - x sen ( x ) e - x tan x e - 2 x d x

f 1 = e - 2 x sen x tan x e - 2 x d x = sen ( x ) tan ( x )   d x

Ficamos com:

f 1 = ln | tan x + sec x | - sen ( x )

Já a f 2 vai ficar:

f 2 = - y 1 x B x W d x = - e - x cos ( x ) e - x tan x e - 2 x d x

f 2 = - e - 2 x cos x tan x e - 2 x d x = - sen x d x

f 2 = cos x

Então, a solução particular vai ficar:

y p = f 1   y 1 x + f 2   y 2 ( x )

y p = ln tan x + sec x - sen x e - x cos ( x ) + cos ( x ) e - x sen ( x )

y p = e - x cos ( x ) ln tan x + sec x - e - x cos x sen x + e - x cos x s e n ( x )

y p = e - x cos ( x ) ln tan x + sec x

Prontinho, descobrimos a solução homogênea e a solução particular. Agora é só somar as duas para descobrirmos a solução geral.

y x = y h x + y p ( x )

y x =   c 1 e - x cos x + c 2 e - x sen x + e - x cos ( x ) ln tan x + sec x

Item (a) resolvido, agora vamos ao item (b).

Passo 3

No item (b), o problema quer que a gente ache a solução do valor inicial:

cos x + e x y ' = 0 y 0 = 0

Bom, a gente já sabe como é a nossa função y ( x ) , então vamos ver como ela vai ficar nessas condições. Vamos começar com a segunda? Porque a gente não precisa derivar nada, é só substituir o x por zero. Aí vai ficar assim:

y 0 =   c 1 e 0 cos 0 + c 2 e 0 sen 0 + e 0 cos ( 0 ) ln tan 0 + sec 0 = 0

Como:

sen 0 = 0 ,         tan 0 = 0         e           cos 0 = 1

O que vai restar na nossa expressão é:

y 0 = c 1 = 0

Então,

y x = e - x ( c 2 sen x + cos x ln tan x + sec x )

Beleza, agora já sabemos que a constante c 1 = 0 , vamos usar a segunda condição. Para isso, vamos precisar derivar y ( x )

y ' x = - e - x c 2 sen x + cos x ln tan x + sec x + e - x ( c 2 cos x - sen x ln tan x + sec x + cos x sec ( x ) )

Então, substituindo essa derivada na primeira condição, teremos:

cos ( x ) + c 2 cos x - sen x - sen x + cos x ln tan x + sec x + 1 = 0

Agora, poderemos isolar c 2 :

c 2 = sen x + cos x ln tan x + sec x - cos x - 1 cos ( x ) - sen ( x )

Ufa!!Finalmente, aplicando o valor inicial a solução ficará:

y x = e - x ( c 2 sen x + cos x ln tan x + sec x )

Onde:

c 2 = sen x + cos x ln tan x + sec x - cos x - 1 cos ( x ) - sen ( x )

Resposta

(a) y x =   c 1 e - x cos x + c 2 e - x sen x + e - x cos ( x ) ln tan x + sec x

(b) y x = e - x ( c 2 sen x + cos x ln tan x + sec x )

Onde:

c 2 = sen x + cos x ln tan x + sec x - cos x - 1 cos ( x ) - sen ( x )

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