Exercícios Resolvidos de Método da Variação dos Parâmetros

UFPE, Cálculo 4, 2º EE - 2019.1, Questão 1

Questão 1: Sabendo que y 1 = e 7 x e y 2 = x e 7 x são soluções da equação linear homogênea,

y ' ' - 14 y ' + 49 y = 0

Encontre a solução geral da equação diferencial não homogênea

y ' ' - 14 y ' + 49 y = e 7 x ln x ,   x > 0 .

Passo 1

Pow! O nosso problema já nos deu duas soluções ali da homogênea. Que ótimo, neh? Mas quem muito dá esmola, o santo desconfia, não é mesmo? Então será que elas são Linearmente independentes para formar um conjunto solução da homogênea? Vamos verificar!

Bem, para verificar, apliquemos o Wronskiano:

W y 1 ,   y 2 = det y 1 y 2 y 1 ' y 2 '  

Logo, simplesmente substituindo-as e derivando...

W e 7 x ,   x e 7 x = det e 7 x x e 7 x 7 e 7 x e 7 x + 7 x e 7 x  

W e 7 x ,   x e 7 x = e 7 x e 7 x + 7 x e 7 x - 7 x e 7 x e 7 x  

Lembrando que e 7 x e 7 x = e 14 x ...

W e 7 x ,   x e 7 x = e 7 x + 7 x + 7 x e 7 x + 7 x - 7 x e 7 x + 7 x  

W e 7 x ,   x e 7 x = e 14 x + 7 x e 14 x - 7 x e 14 x  

W e 7 x ,   x e 7 x = e 14 x

Como exponencial é diferente de 0 sempre...

W e 7 x ,   x e 7 x = e 14 x 0

Concluímos que de fato trata-se de soluções linearmente independentes e, portanto, a combinação linear delas forma a minha solução da homogênea:

y h = c 1 y 1 + c 2 y 2  

y h = c 1 e 7 x + c 2 x e 7 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para a solução geral da não homogênea, temos que ter a solução particular e depois soma-la a solução da homogênea:

y = y h + y p

Ou, podemos calcula-la direto através do método de variação de parâmetro que vai nos dar tanto a particular quanto a homogênea já somada, saca?

y = f 1 x y 1 + f 2 x y 2

Pelo método de variação de parâmetros...

f 1 x = y 2 B x M d x

f 2 x = - y 1 B x M d x

Onde...

M = det y 1 ' y 2 ' y 1 y 2  

Ou, no caso 2 × 2 ...

M = - W y 1 ,   y 2

B é a função que torna a EDO não homogênea, ou seja:

y ' ' - 14 y ' + 49 y = e 7 x ln x  

B x = e 7 x ln x

Bora calcular então?

Passo 3

Vamos começar pelo M ...

M = - W = - e 14 x

f 1 x = y 2 B x M d x  

Substituindo tudo aí no f 1 ...

f 1 x = x e 7 x e 7 x ln x - e 14 x d x  

f 1 x = - x e 14 x ln x e 14 x d x  

f 1 x = - x ln x d x  

Aqui vamos precisar de uma integração por partes:

u = ln x                       e                           d v = x d x

d u = 1 x d x                       e                           v = x 2 2

Resolvendo então...

x ln x d x = x 2 2 ln x - x 2 2 1 x d x  

x ln x d x = x 2 2 ln x - 1 2 x d x  

x ln x d x = x 2 2 ln x - 1 2 x 2 2  

x ln x d x = x 2 2 ln x - x 2 4

Substituindo esse resultado na f 1 ...

f 1 x = - x ln x d x = - x 2 2 ln x + x 2 4 + c 1

c 1 é a constante de integração!

Passo 4

Vamos fazer a mesma coisa agora para encontrar f 2 :

f 2 x = - y 1 B x M d x  

f 2 x = - e 7 x e 7 x ln x - e 14 x d x  

f 2 x = e 14 x ln x e 14 x d x  

f 2 x = ln x d x  

u = ln x                       e                           d v = d x

d u = 1 x d x                       e                           v = x

f 2 x = ln x d x = x ln x - x 1 x d x

f 2 x = ln x d x = x ln x - d x

f 2 x = ln x d x = x ln x - x + c 2

Passo 5

A solução geral então será:

y = f 1 x y 1 + f 2 x y 2  

y = - x 2 2 ln x + x 2 4 + c 1 e 7 x + x ln x - x + c 2 x e 7 x

Podemos eliminar esses colchetes aí...

y = - x 2 2 e 7 x ln x + e 7 x x 2 4 + c 1 e 7 x + x 2 e 7 x ln x - x 2 e 7 x + c 2 x e 7 x

E agora dar uma “arrumada” na casa colocando esse x 2 e 7 x em evidência:

y = c 1 e 7 x + c 2 x e 7 x + x 2 e 7 x - 1 2 ln x + 1 4 + ln x - 1

y = c 1 e 7 x + c 2 x e 7 x + x 2 e 7 x 1 2 ln x - 3 4

Veja que nessa geral, conseguimos ver a parte homogênea e a particular somadas, como eu lhe disse!

Resposta

y = c 1 e 7 x + c 2 x e 7 x + x 2 e 7 x 1 2 ln x - 3 4

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