Exercícios Resolvidos de Método da Variação dos Parâmetros

UNICAMP, Cálculo 3, P1 - 2014.1 - Matutino, Questão 3

a) Resolva a equação de Euler-Cauchy:

x 2 y ' ' + 7 x y ' + 5 y = 0 ,       x > 0

b) Use o método das variações dos parâmetros para resolver a seguinte equação:  

x 2 y ' ' + 7 x y ' + 5 y = x 3 ,       x > 0

Passo 1

a)

Bem galera, ele já até avisou que é uma EDO de Euler-Cauchy, então só temos que aplicar o método de solução para esse tipo de EDO, simbora:

Chutamos a solução :

y = x r

Derivando:

y ' ( x ) = r x r - 1

y ' ' ( x ) = r ( r - 1 ) x r - 2

Substituindo isso na EDO:

x 2 r r - 1 x r - 2 + 7 x r x r - 1 + 5 x r = 0

Assim a edo ficou, cortando o x r :

r r - 1 + 7 r + 5 = 0 Arrumando:

r 2 - r + 7 r + 5 = 0

Ae fica:

r 2 + 6 r + 5 = 0

Então as raízes são:

r 1,2 = - 6 ± 36 - 4.5 2 = - 6 ± 36 - 20 2 = - 6 ± 16 2 = - 6 ± 4 2

Daí temos:

r 1 = - 5

r 2 = - 1

Como as raízes são distintas, a solução é dada por:

y h = C 1 x - 5 + C 2 x - 1

Viu? Já foi!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Agora temos que achar a solução da EDO

x 2 y ' ' + 7 x y ' + 5 y = x 3 ,       x > 0

Lembrando que a solução vai ser

y = y h + y p

Onde y h é a solução da homogênea associada e y p é a solução da particular.

A solução da homogênea já temos, vamos agora para a particular, para isso vamos usar o método da variação de parâmetros, já temos y 1 e y 2 da homogênea, temos que achar

y p = f 1 y 1 + f 2 y 2

Primeiro temos que deixar só y ' ' ali quando usamos a variação de parâmetros

y ' ' + 7 x x 2 y ' + 5 x 2 y = x 3 x 2 ,       x > 0

y ' ' + 7 x 2 y ' + 5 x 2 y = x ,       x > 0

Onde

f 1 ' x = y 2 x B x M

E

f 2 ' x = - y 1 x B x M

Onde B x é aquela função do lado direito da EDO, e M vai ser

M = y 1 ' y 2 - y 2 ' y 1

Vamos achar aqui rapidinho M e B x porque vamos usar para achar f 1 e f 2

B x = x

E

M = x - 5 ' x - 1 - x - 1 ' x - 5

M = - 5 x - 6 x - 1 + x - 2 x - 5

M = - 4 x - 7

Passo 3

Vamos começar achando f 1

f 1 ' x = x - 1 x - 4 x - 7

f 1 ' x = - x 7 4

Vamos ter

f 1 x = - 1 4 x 7 d x = - 1 4 x 8 8 = - x 8 32

Passo 4

Vamos agora a f 2

f 2 ' x = - x - 5 x - 4 x - 7

f 2 ' x = x - 4 4 x - 7

f 2 ' x = x 3 4

Então

f 2 x = 1 4 x 3 d x = 1 4 x 4 4 = x 4 16

Passo 5

A nossa solução particular vai ser

y p = f 1 y 1 + f 2 y 2

y p = - x 8 32 x - 5 + x 4 16 x - 1

y p = - x 3 32 + x 3 16

y p = x 3 32

E a solução geral vai ser

y = y h + y p

y = C 1 x - 5 + C 2 x - 1 + x 3 32

Resposta

a)

y = C 1 x - 5 + C 2 x - 1

b)

y = C 1 x - 5 + C 2 x - 1 + x 3 32

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