Exercícios Resolvidos de Método da Variação dos Parâmetros

Denis G. Zill, Equações Diferenciais Volume I , 3ª ed. São Paulo: PEARSON, 2001, pp. 217 - 29

Sabendo-se que y 1 = x   ,     y 2 = x ln x formam um conjunto fundamental de soluções para x 2 y " - x y ' + y = 0 em ( 0 ,   ) , encontre a solução geral para:

x 2 y " - x y ' + y =   4 x l n ( x )

Passo 1

Vamos relembrar o passo a passo do método da variação dos parâmetros:

  1. Arruma a EDO para ficar com a cara: y ' ' x + p y ' x + q y x = B ( x )
  2. Resolver a EDO como se fosse homogênea – solução homogênea: y h x ,caso o problema não forneça a solução da homogênea.
  3. Identificar y 1 ( x ) e y 2 ( x )
  4. Encontrar a cara da solução particular y p x = y 1 x . f 1 x + y 2 x . f 2 ( x )
  5. Calcular y 1 ' x e y 2 ' x
  6. Calcular M = y 1 ' y 2 ' y 1 y 2 = y 1 ' x . y 2 x - y 2 ' x y 1 x
  7. Calcule
  8. f 1 x = y 2 x . B x M d x

    f 2 x = - y 1 x . B x M d x

  9. Encontrar solução geral: y x = y h x + y p x
  10. Substituir condições iniciais caso exista
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Seguindo exatamente esses passos temos:

Colocando a equação na forma: y ' ' x + p y ' x + q y x = B ( x )

Temos:

y ' ' - y ' x + y x 2 = 4 ln x x

p x = - 1 x

q x = 1 x 2

B x = 4 ln x x

Passo 3

O problema já fornece a solução da homogênea. Temos então:

y 1 = x  

    y 2 = x ln x

Passo 4

A solução particular será:

y p x = f 1 x x + f 2 x x ln x

Passo 5

Calculando :

y 1 ' = 1

y 2 ' = ln x + x . 1 x = ln x + 1

Passo 6

Calculando M temos:

M = y 1 ' x . y 2 x - y 2 ' x y 1 x

M = 1 x ln x - ( ln x + 1 x )

M = - x

Passo 7

Calculando:

f 1 x = y 2 x . B x M d x

Temos:

f 1 x = x l n x 4 ln x x - x d x

f 1 x = - 4 ln x 2 x d x

Como resolver essa integral? Vamos usar a substituição simples:

u = l n ( x )

d u = 1 x d x

d x = x d u

Substituindo na integral temos:

f 1 x = - 4 u 2 x x d u

f 1 x = - 4 u 2 d u

f 1 x = - 4 u 3 3

f 1 x = - 4 3 ln x 3

Calculando :

f 2 x = - y 1 x . B x M d x

f 2 x = - x . 4 ln x x - x d x

f 2 x = 4 l n ( x ) x d x

Vamos fazer uma substituição simples:

u = l n ( x )

d u = 1 x d x

d x = x d u

Substituindo:

f 2 x = 4 u x x d u

f 2 x = 4 u d u

f 2 x = 4 u 2 2 = 2 u 2

f 2 x = 2 ln x 2

Logo:

y p x = f 1 x x + f 2 x x l n ( x )

y p x = - 4 3 ln x 3 x + 2 ln x 2 x l n ( x )

y p x = - 4 3 ln x 3 x + 2 ln x 3 x = 2 3 x ln x 3

Passo 8

Encontrar a solução geral:

y x = y h x + y p x

Sabemos que :

y h x = c 1 y 1 + c 2 y 2

Logo:

y h x = c 1 x + c 2 x l n ( x )

Então:

y x = c 1 x + c 2 x l n x + 2 3 x ln x 3

Resposta

y x = c 1 x + c 2 x l n x + 2 3 x ln x 3

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