Exercícios Resolvidos de Movimento Circular Acelerado

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Enunciado

Q 19 - Uma partícula desloca-se sobre um círculo de raio R com vetor velocidade que varia com o tempo segundo a equação v → ( t ) = b t e ^ θ onde b = 0,5   m / s 2 . Podemos afirmar que quando a partícula encontra-se na posição angular θ = 0,2   r a d , o módulo do vetor aceleração, em ( m / s 2 ) , é:

Passo 1

Vem comigo que a gente detona com essa questão!

Temos um caso de movimento circular, o problema nos diz que a velocidade que varia no tempo dada por:

  v → ( t ) = b t e ^ θ

Como o vetor velocidade só tem componente e ^ θ , log essa velocidade é tangencial, assim nosso vetor velocidade vai ter uma componente tangencial e uma radial, já que para a partícula realizar um movimento circular, deve haver uma aceleração radial, logo:

a → = a r e ^ r + a θ e ^ θ

A aceleração tangencial é dada por:

a θ = d v d t

E a radial é dada por:

a r = v 2 R

Mas o enunciado pede o módulo do vetor aceleração no instante em que θ = 0,2   r a d , então temos que dá um jeito de relacionar θ ( t ) com a aceleração a θ (já que é ela que faz θ variar).

Passo 2

Primeiro vamos deixar as acelerações que temos com uma cara melhor, temos:

a θ = d v d t

Como v = b t , temos:

a θ = b

E temos que:

a r = v 2 R

⇒ a r = b 2 t 2 R

Passo 3

Agora vamos pensar no seguinte, usando a definição de radianos, temos que:

θ = S R

Mas como θ varia com tempo temos que:

θ = S t R

Onde S ( t ) é a função posição da partícula, e como:

v = d S d t

S t = ∫ v   d t

Onde v é a velocidade na direção e ^ θ , já que é ela que faz θ variar, com isso temos que:

θ ( t ) = 1 R ∫ v   d t

Usando que v θ ( t ) = b t , temos:

θ ( t ) = 1 R ∫ b t   d t

⇒ θ ( t ) = b t 2 2 R

Isolando o fator b t 2 / 2 , temos:

b t 2 R = 2 θ t

Comparando isso com o que temos para a aceleração radial, temos que:

a r = 2 b θ t

Passo 4

Agora podemos calcular o módulo do vetor aceleração, temos:

a → = a r e ^ r + a θ e ^ θ

⇒ a → = 2 b θ t e ^ r + b e ^ θ

O módulo desse vetor é dado por:

a → = 4 b 2 θ 2 t + b 2

Como queremos no instante em que θ = 0,2   r a d , temos que θ t = 0,2   r a d , substituindo os outros valores que temos, ficamos com:

a → = 4 0,5 2 0,2 2 + ( 0,5 ) 2

= 0,04 + 0,25

Com isso temos que:

a → = 0,54   m / s 2

Resposta

a → = 0,54   m / s 2

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