Exercícios Resolvidos de Movimento Circular Acelerado

A figura mostra dois discos que podem girar em torno de seus centros independentemente. No instante t   =   0 , as retas de referência dos dois discos têm a mesma orientação (como mostrado no desenho); o disco A já está girando com uma velocidade angular constante ω A = 3 π   r a d / s e o disco B parte do repouso com uma aceleração angular constante de 0,5 π   r a d / s 2 .

(a) Em que instante t as duas retas de referência têm o mesmo deslocamento angular θ ?

(b) Qual será o primeiro instante t , após t   =   0 , para o qual as duas retas de referência estão paralelas com a linha que une o centro dos dois discos?

(c) Considere agora que o deslocamento angular do disco B varia no tempo com θ B t = t 3 - 2 t , onde θ B ( t ) está em radianos. Em qual instante a velocidade angular de B é igual à velocidade angular de A ?

Passo 1

a) Os deslocamentos angulares dos discos são:

θ A = 3 π t

θ B = 0,5 π t 2 2

Se igualarmos os dois:

3 π t = 0,5 t 2 2 → t = 12   s  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) As retas de referência estarão alinhadas quando os deslocamentos forem separadamente múltiplos de π ou 2 π . Certo?

Na real, podemos dizer que os deslocamentos serão múltiplos (distintos) de π , já que serão também múltiplos de 2 π , né?

Passo 3

Para o disco A , é necessário que:

θ A = 3 π t = π n

Portanto:

t = n 3

Então, isso significa que:

θ B = π t 2 4 = π n 2 4   .   9

Com isso, concluímos que, se:

n = 6 m

Teríamos:

θ A = π n e θ B = π m 2

Viu que para qualquer m e n eles serão múltiplos de π ? Portanto, a primeira vez que se encontram é quando m = 1 , n = 6 e então t = 6 3 = 2   s

Passo 4

c) Para obter a velocidade angular, basta derivar a posição!

ω B = d θ B t d t = d d t t 3 - 2 t = 3 t 2 - 2

Assim, ω B = ω A implica em:

3 t 2 - 2 = 3 π

E então:

t = 2 3 + π   s

Resposta

a) t = 12   s

b) t = 2   s

c) t = 2 3 + π   s

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