Exercícios Resolvidos de Movimento Circular Acelerado

Considere a seguinte expressão para o vetor aceleração linear de uma partícula de um corpo rígido em rotação em torno de um eixo fixo: a → = α → × r → + ω → × v → , onde r → é vetor posição da partícula com relação ao eixo de rotação, v → é o vetor velocidade linear da partícula, ω → é o vetor velocidade angular de rotação, e α → é o vetor aceleração angular. Tendo em mente o movimento e a trajetória da partícula, marque a alternativa incorreta ( | x → | significa módulo de x → ):

A. Na expressão da aceleração, o termo α → × r → é ortogonal ao termo ω → × v → .

B. O termo α → × r → do vetor aceleração é responsável por fazer variar | v → | .

C. O termo α → × r → do vetor aceleração é responsável por fazer variar | ω → | .

D. O termo ω → × v → do vetor aceleração é responsável por alterar a direção do vetor v → .

E. O termo ω → × v → do vetor aceleração é responsável por alterar a direção do vetor ω → .

Passo 1

Bom, temos uma partícula em um movimento circular, onde os vetores v → e r → são esses aqui:

Já os vetores ω → e α → , ambos são perpendiculares ao plano do movimento. Vamos assumir uma rotação no sentido anti-horário, então pela regra da mão direita, esses dois vetores estão “para cima”:

Essa questão trabalha bastante com o conceito de produto vetorial “ a × b ”...

Um produto vetorial entre dois vetores a e b , por exemplo, sempre tem como resultado um terceito vetor que é perpendicular aos outros dois.

Agora, vamos definir as direções através desses vetores para facilitar a nossa vida:

d i r e ç ã o   t a n g e n c i a l → v →

d i r e ç ã o   r a d i a l → r →

d i r e ç ã o   p e r p e n d i c u l a r → ω →   e   α →

Agora, vamos analisar cada alternativa.

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Passo 2

A. Na expressão da aceleração, o termo α → × r → é ortogonal ao termo ω → × v → .

O produto vetorial α → × r → resulta em um vetor na direção tangencial.

Enquanto o produto vetorial ω → × v → resulta em um vetor na direção radial.

Então, os dois vetores resultantes são realmente ortogonais.

Afirmativa A. está correta.

Passo 3

B. O termo α → × r → do vetor aceleração é responsável por fazer variar | v → | .

Esse produto vetorial resulta em um vetor na direção tangencial, ou seja:

Como essa componente da aceleração (rosa) está na mesma direção da velocidade v → , seu módulo vai variar.

Afirmativa B. está correta.

Passo 4

C. O termo α → × r → do vetor aceleração é responsável por fazer variar | ω → | .

Novamente, temos o vetor rosa como resultado dessa componente:

Mas essa aceleração vai fazer o módulo da velocidade angular ω variar?

Bom, a velocidade angular ω depende da velocidade linear v :

v = ω r

ω = v r

Logo, se como a componente de aceleração tangencial (rosa) faz a velociddade linear v variar, a velocidade angular ω também vai variar.

Afirmativa C. está correta.

Passo 5

D. O termo ω → × v → do vetor aceleração é responsável por alterar a direção do vetor v → .

A componente da aceleração resultante desse produto vetorial está na direção radial:

Assim, essa aceleração atua como centrípeta e apenas altera a direção do vetor velocidade v → , porém sem alterar seu módulo.

Afirmativa D. está correta.

Passo 6

E. O termo ω → × v → do vetor aceleração é responsável por alterar a direção do vetor ω → .

Já vimos que essa componente da aceleração está na direção radial (vermelho):

Como essa aceleração funciona como aceleração centrípeta, não alterando o módulo da velocidade v → , isso significa que a partícula não vai mudar o sentido de rotação devido a essa aceleração.

Como o sentido de ω → está relacionado com a partícula realizar a rotação no sentido horário ou anti-horário, ela não terá sua direção alterada por essa componente da aceleração.

Afirmativa E. está incorreta.

Resposta

Letra (E)

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