Exercícios Resolvidos de Movimento Circular Acelerado

PUCRIO, Física B - FIS1026, P2 - 2016.2, Questão Q03

Um toca-discos com um prato de diâmetro D   =   30,0   c m é posto em rotação por meio de uma correia ligada ao eixo de um motor de diâmetro d = 2,00   c m . Veja a ilustração abaixo. Partindo do repouso, o prato alcança a velocidade angular final ω p =   33,3   r p m (rotações por minuto) em um intervalo de tempo Δ t = 2,0   s . Considere a correia como sendo inextensível e suponha as acelerações constantes. Resolva o problema literalmente para só no final substituir os valores numéricos.

(a) Determine as acelerações angulares do motor e do prato do toca-discos.

(b) Determine quantas rotações o prato faz até atingir sua velocidade final.

(c) Determine os módulos das acelerações radial ar e tangencial at de um ponto na borda do prato após ele atingir a velocidade final.

Passo 1

(a)Obter a aceleração angular do prato

Nesse primeiro passo, basta ficar atento no enunciado pra acertar em cheio! Se o disco acelera durante Δ t = 2,0   s saindo do repouso ( ω p =   0 ) para uma velocidade final ω p =   33,3   r p m , achamos a aceleração angular com a seguinte relação:

α P = ω p Δ t

Mas calma Cowboy, não tão depressa! Se só substituir os valores vamos ter uma inconsistência dimensional. Vamos repaginar as unidades da velocidade então. Se:

1   r p m = 2 π 60 r a d i a n o s s e g u n d o s

Então mudando as unidades da velocidade, temos:

ω p =   33,3   r p m 3,49   r a d / s

E a aceleração ficará:

α P = ω p Δ t = 3,49 - 0 2 = 1,75   r a d / s ²

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Passo 2

Analisar o movimento da correia

Vamos começar do começo e ligar o motor que estava desligado. O que vai acontecer? Bem, se não esquecermos de ligar na tomada o motor, ele irá acelerar a correia. Então, vamos ter o seguinte esquema:

Como a correia está sendo acelerada, em todos os seus pontos a aceleração linear será igual. Aí que está o pulo do gato pra responder essa questão! Se as acelerações lineares são iguais em todos os pontos, podemos igualar as acelerações lineares para dois pontos de interesse: um em cima do disco do motor e outro em cima do disco de vinil:

a M = a P

α M R M = α P R P

α M =   α P R P R M

Agora temos uma expressão pra aceleração angular do motor que só tem informações que conhecemos. Só substituir e ser feliz:

α M =   1,75 . 30 2 2 2 = 26,25   r a d / s 2

Passo 3

(b)Aplicar a Equação de Torricelli para movimentos circulares

Lembra das equações do movimento? Pois bem, para todos eles, incluindo a Equação de Torricelli, existe uma versão para movimentos circulares. Dá uma olhada no caso do disco de vinil:

ω P 2 = ω P 0 2 + 2 α P θ

Tá, e pra que eu quero essa fórmula? Bem, pra saber quantas voltas o disco deu até atingir a velocidade angular final a gente precisa saber quantas vezes a variação de angulação θ cabe em uma rotação. Assim, o número de rotações N = θ 2 π pode ser explicitado:

ω P 2 = ω P 0 2 + 2 α P 2 π N

ω P 2 - ω P 0 2 = 4 π α P N

N = ω P 2 - ω P 0 2 4 π α P

Opa! Agora é só substituir e partir pro abraço!

N = 3,49 2 - 0 1,75 . π . 4

N = 0,554   r o t a ç õ e s

Passo 4

(c)Componentes da aceleração em movimentos circulares uniformemente variado

Cansado? Calma, está acabando, só mais essa questão! Nesse item, queremos calcular a aceleração tangencial e radial (ou centrípeta) em um movimento circular. Mas que acelerações são essas? Vamos dar uma olhada:

Para um ponto na borda do disco, a aceleração linear resultante vai ser a soma dessas duas componentes, certo? O módulo de cada uma das componentes vai ser:

a r = ω P 2 R P

a t = α P R P

Quando a velocidade angular final é alcançada, a correia passa a se mover em velocidade constante, beleza? Se a velocidade da correia é constante, a velocidade do ponto na borda do prato também será, e substituindo, temos: a r = 3,49 2 . 0,15 = 1,83   m / s 2

a t = 0.0,15 = 0   m / s 2

Resposta

a) α P = 1,75   r a d / s 2   α M = 26,25   r a d / s 2  

b) 0,554   r o t a ç õ e s

c) a r = 1,83   m / s ² a t = 0   m / s 2  

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