Um carrinho (1) de massa M = 0,250 kg está preso à extremidade de uma mola realizando movimento harmônico simples com intervalos de tempo de 0,1 s entre dois extremos consecutivos de sua oscilação. No instante inicial, ele se move em direção à parede, passando pela posição x = 0 com velocidade v = 20 π m/s 62,8 m/s.

a) Determine o período, a frequência, a frequência angular, a amplitude do movimento do carrinho(1) e a constante elástica da mola.

b) Escreva as expressões para o deslocamento e a velocidade do carrinho (1) em função do tempo, respectivamente x(t) e v(t).

c) Determine o instante de tempo em que o carrinho (1) passa pela extremidade à esquerda da oscilação pela primeira vez.

Passo 1

a) Vamos lembrar da equação do MHS:

x t = x m sin ⁡ ω t + φ

E a derivada da posição vai ser a velocidade:

v t = ω x m cos ⁡ ω t + φ

No instante inicial, ele tá passando pela posição de equilíbrio. Então:

x 0 = x m sin ⁡ φ = 0

φ = 0

No instante inicial a velocidade é 20 π , então:

v 0 = ω x m cos ⁡ 0 = 20 π

Então:

ω x m = 20 π

Passo 2

Ele disse pra gente que o intervalo entre os extremos é de 0,1 s.

Aí, pensa bem. No MHS o tempo pro bloquinho sair do ponto máximo e voltar a ele de novo é um período. Ou seja: ele sai do ponto máximo, vai ao ponto mínimo e volta ao máximo de novo em um período. TÔ FALANDO DO MÁXIMO E MÍNIMO DE DESLOCAMENTO, NÃO CONFUNDA COM VELOCIDADE!

Você concorda comigo então que pro bloquinho ir do ponto máximo ao ponto mínimo ele vai gastar METADE do tempo de um período?

Daí a gente tira que metade do período é 0,1 s. Então:

T = 0,2   s

E usando aquela fórmula que relaciona T e ω :

T = 2 π ω = 0,2

ω = 10 π   r a d / s

Voltando lá na relação que a gente achou no passo anterior:

ω x m = 20 π

10 π x m = 20 π

x m = 2   m

Passo 3

A frequência é o inverso do período. Então:

f = 1 / T

f = 1 0,2

f = 5   H z

A frequência angular ω é:

ω = k / m

10 π = k 0,25

k = 25 π 2   N / m

Passo 4

b) Nós já tínhamos achado a posição e a velocidade:

x t = x m sin ⁡ ω t + φ

v t = ω x m cos ⁡ ω t + φ

Com φ = 0 .

Substituindo os outros valores:

x t = 2 sin ⁡ 10 π t

v t = 20 π cos ⁡ 10 π t

Eiiiii! Repara aqui numa coisa. Se lá no começo eu tivesse escolhido um x(t) que tivesse um cosseno em vez de um seno, ia ter que rolar uma diferença de fase ali φ ≠ 0 pra atender à condição inicial de x(0) = 0. Marotamente e por conveniência, escolhi uma função seno que não precisa da diferença de fase.

Passo 5

c) Aqui o raciocínio é parecido com o que a gente usou pra achar o período.

No nosso instante inicial o bloquinho tá passando pelo equilíbrio, em direção à parede. A partir daí o que ele vai fazer? Vai chegar à extremidade mais próxima da parede, voltar pra posição de equilíbrio, e depois ir pra extremidade esquerda (mais longe da parede).

Nesse percurso, ele vai gastar meio período (pra sair do equilíbrio, chegar perto da parede e depois voltar ao equilíbrio) mais um quarto de período (sair do equilíbrio e chegar à extremidade esquerda).

Então ele vai levar:

t = T 2 + T 4 = 0,1 + 0,05 = 0,15   s

Resposta

a) T = 0,2   s , ω = 10 π r a d s , x m = 2   m , f = 5   H z e k = 25 π 2 N m

b) x t = 2 sin ⁡ 10 π t e v t = 20 π cos ⁡ 10 π t

c) t = 0,15   s

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