A figura ao lado mostra um bloco com 14,0   N de peso, que pode deslizar sem atrito em um plano inclinado de ângulo θ = 40,0 ° e está ligado ao alto do plano inclinado por uma mola, de massa desprezível, de 0,450   m de comprimento quando relaxada, cuja constante elástica é 120   N / m . ( a ) A que distância do alto do plano inclinado fica o ponto de equilíbrio do bloco? ( b ) Se o bloco é puxado ligeiramente para baixo ao longo do plano inclinado e depois liberado, qual é o período das oscilações resultantes?

Passo 1

Eaew, tudo bem?

O enunciado nos dá o seguinte esquema

O bloco pesa

P = 14,0   N

e o plano inclinado é feito de um material que permite que o bloquinho deslize livremente. Temos que a inclinação é de θ = 40,0 ° e que a mola que liga o bloco ao topo do plano tem um comprimento de

L = 0,450   m

a mola tem massa desprezível! Nós temos que analisar essa situação e encontrar a posição de equilíbrio

x e q

do oscilador, assim como a frequência de oscilação deste sistema! Este é um sistema bastante similar a um oscilador harmônico vertical, portanto, a força constante existente devido a componente do peso ao longo do plano irá causar apenas uma variação na posição de equilíbrio, a qual iremos determinar no próximo passo! A frequência será obtida como usualmente em problemas de MHS! Saca só!

Passo 2

Temos que a componente do peso ao longo do plano é tal que

P x = P   s e n ( θ ) = 9,0   N

De forma que a equação diferencial do oscilador harmônico se torna

x ¨ ( t ) + k m x ( t ) = - P x m

vamos reescrever a equação acima da seguinte maneira

x ¨ ( t ) + k m [ x ( t ) + P x k ] = 0

Se fizermos a seguinte mudança de variáveis

x ' ( t ) = x ( t ) + P x k

temos que

x ' ¨ ( t ) + k m x ' ( t ) = 0

Que é a equação de um oscilador harmônico usual que tem como posição de equilíbrio

x e q ' = x e q + P x k

usando a constante da mola dada, temos que

x e q ' = 0,525   m

Essa é a primeira alternativa! Vamos achar agora o período!

Passo 3

Como citei no primeiro passo, a translação causada pela força constante não altera a forma usual usada para calcular o período, usando que

ω 2 = k / m

podemos multiplicar e dividir numerador por g e obter que

ω 2 = k g / P = 84   r a d 2   s - 2

ou simplesmente

ω = 9,2   r a d   s - 1

usando então que

ω = 2 π f

Obtemos a frequência como

f = 1,5   H z

E, finalmente, o período como

T = 1 / f = 0,686   s

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

a )   x e q ' = 0,525   m , b )   T = 0,686   s

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