Um famoso problema no cálculo das variações é o seguinte: dado dois pontos 1 e 2 , com 1 a uma certa altura acima do solo, qual será a forma que devemos construir os trilhos de uma montanha-russa, sem atrito, de modo que um carro largado do ponto 1 alcance ponto 2 no menor tempo possível? (Esse é o famoso problema da braquistócrona, resolva-o em detalhe).

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado aqui pede para você arrasar em explicar o resultado do problema da braquistócrona! O que é essa curva com nome esquisito? É exatamente o que ele descreve

“A braquistócrona é a curva pela qual um corpo percorre de forma que leve o menor tempo possível entre dois pontos”

Nós podemos obter o formato desta curva usando o teorema de mínima ação descrito através do seguinte funcional

T = ∫ a b d t

em que o funcional T representa o tempo que iremos minimizar através do parâmetro t , que pode ser escrito em termos da velocidade e posição! Saca só!

Passo 2

Se os pontos A e B tem coordenadas no plano x , y . Para percorrer uma distância d S , com uma velocidade que depende da posição, temos que o corpo leva um tempo

d t = d S v ( x , y )

vamos tentar escrever isso em termos de x e y . O elemento de comprimento d S pode ser obtido como

d S = d x 2 + d y 2

imagine um triângulo retângulo que ligue os dois pontos. Se evidenciarmos d x , temos que

d S = 1 + ( d y d x ) 2 d x

A velocidade pode ser obtida aplicando conservação de energia, temos que em uma altura y = y 0 o corpo está em repouso, após descer pela rampa, temos que ele ganha uma velocidade v , sendo assim

m g y 0 = m g y + 1 2 m v 2

de forma que a velocidade é dada por

v ( x , y ) = 2 g ( y 0 - y )

e, finalmente, temos que o nosso infinitesimal temporal é dado por

d t = 1 + ( d y d x ) 2 d x 2 g ( y 0 - y )

Ou seja, o funcional toma a forma

T = ∫ a b 1 + ( d y d x ) 2 d x 2 g ( y 0 - y )

Bora caçar uma função y ( x ) que minimize a expressão acima!

Passo 3

Minimizar a expressão acima é o mesmo que aplicar a equação de Euler-Lagrange

∂ L ∂ y - d d x [ ∂ L ∂ y ˙ ] = 0

para a seguinte Lagrangeana

L = 1 + y ˙ 2 2 g ( y 0 - y )

como não temos uma dependência explícita em x , podemos usar a relação de Beltrani dada por

L - y ˙ ∂ L ∂ y ˙ = C

em que C é uma constante qualquer. Calculando a derivada parcial em relação y ˙ , temos

∂ L ∂ y ˙ = 1 2 g ( y 0 - y ) y ˙ 1 + y ˙ 2

de forma que obtemos a seguinte equação

1 + y ˙ 2 2 g ( y 0 - y ) - 1 2 g ( y 0 - y ) y 2 ˙ 1 + y ˙ 2 = C

Vamos simplificar essa expressão!

Passo 4

Primeiro, vamos multiplicar tudo por 2 g ( y 0 - y ) , temos que

1 + y ˙ 2 - y ˙ 2 1 + y ˙ 2 = C   2 g ( y 0 - y )

agora, multiplicando por 1 + y 2 ˙

1 + y ˙ 2 - y ˙ 2 = C 2 g ( y 0 - y ) ( 1 + y ˙ 2 )

ou simplesmente

1 = C 2 g ( y 0 - y ) ( 1 + y ˙ 2 )

Elevando ambos os lados ao quadrado, e juntando as constantes, temos que resolver

C 1 = ( y 0 - y ) ( 1 + y ˙ 2 )

isolando o termo de derivada

y ˙ 2 = C 1 ( y 0 - y ) - 1

Fazendo MMC e tirando a raiz, obtemos

y ˙ = C 1 - ( y 0 - y ) ( y 0 - y ) = d y d x

Uff… Agora precisamos integrar essa expressão! Vamo que vamos!

Passo 5

Sendo esta uma equação diferencial separável, podemos calcular a seguinte integração

x = ∫ ( y 0 - y ) C 1 - ( y 0 - y ) d y

Isso pode ser resolvido fazendo uma mudança de variáveis, vamos tentar a seguinte

y = y 0 - C 1 s e n 2 ( θ / 2 ) e d y = - C 1 s e n ( θ / 2 ) c o s ( θ / 2 ) d θ

e, a integral se torna

x = - C 1 ∫ C 1 s e n 2 ( θ / 2 ) C 1 - C 1 s e n 2 ( θ / 2 ) s e n ( θ / 2 ) c o s ( θ / 2 ) d θ

usando que 1 - s e n 2 ( θ / 2 ) = c o s 2 ( θ / 2 ) , e simplificando alguns termos, obtemos simplesmente que

x = - C 1 ∫ s e n 2 ( θ / 2 ) d θ

de maneira que usando a relação de meio ângulo, podemos escrever

x = - C 1 2 ∫ [ 1 - c o s ( θ ) ] d θ = - C 1 2 θ + C 1 2 s e n ( θ ) + K 2

chamando

K 1 = - C 1 / 2

obtemos

x = K 1 [ θ - s e n ( θ ) ] + K 2

Para achar essas constantes vamos precisar escolher um sistema de referência! Saca só!

Passo 6

Vamos escolher um sistema que em y = y 0 , temos x = 0 , portanto, temos que

y 0 = y 0 - C 1 s e n 2 ( θ / 2 )

que é verdade, ou para C 1 = 0 , ou para s e n ( θ ) = 0 . Como a primeira possibilidade nos leva a solução trivial, vamos escolher a segunda, e sendo assim

0 = K 1 ( 0 - 0 ) + K 2

e, portanto K 2 = 0 . Se colocarmos agora que no ponto B o nosso corpo está em y = 0 , e x = L (distância qualquer da origem), temos que

L = K 1 [ θ L - s e n ( θ L ) ]

e, da outra equação, temos que

- y 0 = K 1 [ 1 - c o s ( θ L ) ]

Resolver essas equações no entanto é bastante complicado, é o suficiente estabelecer que a braquistócrona é definida pela parametrização

x = K 1 [ θ - s e n ( θ ) ] e y = y 0 + K 1 [ 1 - c o s ( θ ) ]

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

x = K 1 [ θ - s e n ( θ ) ] e y = y 0 + K 1 [ 1 - c o s ( θ ) ]

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