Em um oscilador amortecido como o que está mostrado na figura ao lado, o bloco possui uma massa de 1,50   k g e a constante elástica é 8,00   N / m . A força de amortecimento é dada por - b d x d t , em que b = 230   g / s . O bloco é puxado 12,0   c m para baixo e liberado. ( a ) Calcule o tempo necessário para que a amplitude das oscilações resultantes diminua para um terço do valor inicial. ( b ) Quantas oscilações o bloco realiza neste intervalo de tempo?

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Temos o seguinte esquema

este esquema representa um oscilador harmônico amortecido. Temos que o bloco tem uma massa de m = 1,50   k g e a constante elástica é tal que k = 8,00   N / m . Temos uma força de amortecimento proporcional a velocidade da forma

- b d x d t

em que b = 230   g / s . Se fizermos uma distensão inicial de

12,0   c m

podemos calcular

( a ) O tempo necessário para que a amplitude das oscilações resultantes diminua para um terço do valor inicial e ( b ) quantas oscilações o bloco realiza neste intervalo de tempo.

Para isso precisamos verificar que tipo de amortecimento temos e usar a solução adequada! Saca só!

Passo 2

Tendo em vista que a questão pede para calcularmos número de oscilações é um bom chute pensar que ela deve ser um amortecimento subcrítico, mas vamos verificar calculando

Δ = γ 2 - 4 ω 0 2

usando que γ = b / m e ω 0 2 = k / m , temos que

γ = 230   × 1 0 - 3   k g   s - 1 1,50   k g = 0,15   s - 1

e, analogamente, temos que

ω 0 2 = 8   N   m - 1 1,5   k g = 5,3   r a d 2   s - 2

De forma que o delta é dado por

Δ = ( 0,15   s - 1 ) 2 - 4 ( 5,3   r a d 2   s - 2 ) = - 21,2  

Como temos que Δ < 0 , este é um amortecimento subcrítico, e portanto, temos que

x ( t ) = A   e - γ 2 t c o s ( ω t + ϕ )

Vamos usar isso para calcular o tempo pedido!

Passo 3

Temos que obter o tempo para que a amplitude seja 1 / 3 de A . A amplitude é obtida sempre que

c o s ( ω t + ϕ ) = 1

sendo assim, podemos escrever que

x m a x ( t ) = A e - γ 2 t

Note que queremos t tal que

x m a x ( t ) = A / 3

Sendo assim, buscamos t que seja solução para

1 3 = e - γ 2 t

aplicando o logaritmo em ambos os lados temos que

t = 14,6   s

Aí está! Vamos ver quantas oscilações cabem neste intervalo de tempo!

Passo 4

Para obter o número de oscilações, vamos primeiro calcular a frequência do oscilador amortecido! Não confunda com a frequência natural

ω 0 2 = k / m

temos que o oscilador amortecido tem uma frequência angular calculada por

ω = ω 0 2 - γ 2 4

usando os valores que calculamos ao longo da questão temos que

ω = 5,3 - ( 0,15 ) 2 4 = 2,3   r a d   s - 1

ou seja, o período é dado pela relação

ω = 2 π T

de forma que

T = 2,73   s

De forma que o número de oscilações até que a amplitude caia em um terço é dada por

n = 14,6   s / 2,73   s = 5,3 oscilações

ou, oscilações completas

n = 5

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

( a ) t = 14,6   s , ( b )   n = 5

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