Enunciado

Um malabarista de 81   k g está pendurado por uma corda com constante elástica de 270   N / m , que pode ser modelada como uma mola. Ele é puxado para baixo, até um ponto em que a corda está 5,0   m mais comprida do que seu comprimento não esticado, e depois é liberado a partir desta posição. Adotando o eixo mostrado na figura e considerando que as oscilações verticais do malabarista constituem um MHS unidimensional, a posição do malabarista como função do tempo, medida a partir da posição de equilíbrio do malabarista, é:

a) y t = + 1,5 cos ⁡ 10 3 t - π

b) y t = + 2,0 cos ⁡ 10 3 t + π

c) y t = - 2,5 cos ⁡ 10 3 t + π

d) y t = + 3,0 cos ⁡ 10 3 t + π

e) y t = - 5,0 cos ⁡ 10 3 t

Passo 1

Eai pessoal, vamos resolver mais uma questão sobre MHS! Nessa aqui, um malabarista está executando um MHS e temos que descrever o movimento em torno da posição de equilíbrio. Com isso, o primeiro passo é determinar onde é a posição de equilíbrio em que a força da mola cancela o peso do malabarista:

m g = k   Δ L

Assim,

Δ L = m g k

Usando g = 10   m / s 2 que estava no formulário da prova:

Δ L = 81 ⋅ 10 270 = 3,0   m

Com isso, a posição de equilíbrio está 3,0   m abaixo da mola relaxada:

Passo 2

Em t = 0 , o malabarista está na posição y = - 2,0   m e com v = 0 . A posição é essa pois a deformação é 5,0   m , 2,0   m a mais a que deformação de equilíbrio, que é nossa referência! Além disso, o malabarista está abaixo da origem e o eixo aponta para cima, por isso a coordenada é negativa!

A equação horária da posição é

y t = A cos ⁡ ω t + ϕ

A velocidade é obtida pela derivada da posição:

v t = d y d t = - ω A   s e n   ω t + ϕ

Para t = 0 , temos y = - 2,0   m :

- 2 = A cos ⁡ ϕ

Para t = 0 , temos v = 0 :

0 = - ω A   s e n   ϕ

Como A ≠ 0 , temos que

s e n   ϕ = 0

Com isso, cos ⁡ ϕ = ± 1 . Por simplicidade, vamos escolher ϕ = π de modo que cos ⁡ ϕ = - 1 . Com isso,

- 2 = A cos ⁡ ϕ ⇒ A = 2,0   m

Portanto, a equação horária da posição é

y t = 2,0 cos ⁡ ω t + π

Passo 3

Para achar ω :

ω 2 = k m

Como k = 270   k g e m = 81   k g :

ω 2 = 270 81 = 10 3 ⇒ ω = 10 3   r a d / s

Portanto,

y t = 2,0 cos ⁡ 10 3 t + π

Com isso, a resposta está na alternativa B!

Resposta

Alternativa B.

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