Um corpo de 0,500 kg oscila preso a uma mola ideal. A velocidade do corpo é dada pela função:

V ( t )   =   3,60   s e n   ( 4,71   t   –   1,57 )

Para t em s e V em cm/s. Determine:

a) o período;

b) a amplitude;

c) a aceleração máxima;

d) a constante elástica da mola.

Passo 1

a) Vamos lembrar da equação do MHS:

x t = x m cos ⁡ ( ω 0 t + φ )

E a velocidade, que é a primeira derivada:

v t = x ˙ t = - x m ω 0 s in ⁡ ( ω 0 t + φ )

Vamos comparar com a equação da velocidade que ele deu:

V ( t )   =   3,60   s e n   ( 4,71   t   –   1,57 )

Não tem esse sinal de menos ali né? Então pra nossa função posição x ( t ) ficar parecida com a dele, eu vou fazer assim:

x t = - x m cos ⁡ ( ω 0 t + φ )

v t = x ˙ t = x m ω s in ⁡ ( ω 0 t + φ )

Ok? Eu posso fazer isso porque na prática esse sinal de menos acaba sendo incorporado pela constante de fase φ .

Passo 2

Então a gente vai ficar com:

v t = x ˙ t = x m ω 0 s in ⁡ ( ω 0 t + φ )

V ( t )   =   3,60   s e n   ( 4,71   t   –   1,57 )

Comparando esses dois caras a gente acha que:

ω 0 = 4,71   r a d / s

φ = - 1,57   r a d

x m ω 0 = 3,60   c m / s

4,71 x m = 3,60   c m / s

x m = 0,764   c m

Beleza! Agora que já temos essa galera toda podemos calcular o período:

T = 2 π ω 0

T = 2 π 4,71

T ≅ 1,33   s

Passo 3

b) Aqui ele tá pedindo a amplitude do movimento. E nós já achamos ela, né? Ela é:

x m = 0,764   c m

Passo 4

c) Aqui ele tá pedindo a aceleração máxima. Ou seja, a amplitude da aceleração.

Bom, já temos a velocidade. Então é só derivar mais uma vez:

V ( t )   =   3,60   s e n   ( 4,71   t   –   1,57 )

a t = 3,6 × 4,71 cos ⁡ ( 4,71   t   –   1,57 )

a t = 16,9 cos ⁡ ( 4,71   t   –   1,57 )

Então a aceleração máxima vai ser 16,9   c m s 2 .

Passo 5

d) Aqui nós vamos usar:

ω 0 = k m

Como já temos os valores de ω 0 e de m , é só substituir e achar k :

4,71 = k 0,5

k = 11,09   N m 2

Repare que aqui a unidade é metro, e não centímetro. Por que?

Bom, a frequência ω 0 tá em r a d / s e a massa em k g . Ou seja, as duas estão no sistema internacional, diferente das outras medidas em centímetro. Então o valor de k vai vir também no sistema internacional. Tendeu?

Resposta

a) T ≅ 1,33   s

b) x m = 0,764   c m

c) a M á x i m a = 16,9   c m s 2

d) k = 11,09   N m 2

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