Considere um pêndulo constituído de uma mola com uma massa m presa na sua extremidade, conforme mostrado na Figura 1 . A mola é disposta de tal forma que fica em linha reta (por exemplo, podemos imaginar que existe uma barra rígida envolvida pela mola). O comprimento da mola é l . A mola é então esticada de um comprimento x , passando a assumir um comprimento l + x . Ao mesmo tempo, o pêndulo é deslocado de um ângulo θ com a vertical. Com base nessas informações, considere as alternativas a seguir.

b ) Obtenha as equações de movimento relativas às coordenadas x e θ .

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

A seguinte figura é um bom resumo de nosso enunciado

uma massa m presa a uma mola que oscila em um pêndulo. Estamos considerando que a mola não se curva, apenas se estica, e as condições em um instante qualquer de tempo são que ela está em um posição angular θ e esticada de x . Tanto x quanto θ são funções do tempo, na alternativa anterior obtemos a lagrangeana como

L = 1 2 m [ x ˙ 2 + ( l + x ) 2 θ ˙ 2 ] + m g ( l + x ) c o s ( θ ) - 1 2 k x 2

obter as equações de movimento é o mesmo que dizer “aplique as equações de Euler-Lagrange”, elas são da forma

∂ L ( t , q ( t ) , q ˙ ( t ) ) ∂ q i - d d t [ ∂ L ( t , q ( t ) , q ˙ ( t ) ) ∂ q ˙ i ] = 0

em nosso caso temos que q i = ( x , θ ) , que são as nossas coordenadas independentes! Vamos obter então duas equações independentes! Saca só!

Passo 2

Primeiro, usando q i = x , temos que

∂ L ∂ x - d d t [ ∂ L ∂ x ˙ ] = 0

A derivada parcial em relação a x de nossa lagrangeana é

∂ L ∂ x = 1 2 θ ˙ 2 d d x [ ( l + x ) 2 ] + m g   c o s ( θ ) d d x [ x ] - 1 2 k d d x [ x 2 ]

note que zerei termos que não dependem explicitamente de x (isso incluí x ˙ , já que a velocidade no formalismo lagrangeano é considerada uma variável independente). Aplicando a regra da cadeia e algumas regrinhas básicas de derivação, temos que

∂ L ∂ x = ( l + x ) θ ˙ 2 + m g   c o s ( θ ) - k x

Da mesma maneira, precisamos calcular a derivada parcial em relação a x ˙ , obtendo

∂ L ∂ x ˙ = 1 2 m d d x ˙ [ x ˙ 2 ] = m   x ˙

calculando então a derivada total

d d t [ ∂ L ∂ x ˙ ] = m d d t [ x ˙ ]

obtemos

d d t [ ∂ L ∂ x ˙ ] = m x ¨

Finalmente, a nossa primeira equação do movimento é dada por

( l + x ) θ ˙ 2 + m g   c o s ( θ ) - k x - m x ¨ = 0

Vamos calcular a outra agora! Vem comigo!

Passo 3

Temos que repetir todo o processo para q i = θ , temos então a seguinte equação

∂ L ∂ θ - d d t [ ∂ L ∂ θ ˙ ] = 0

primeiro calculando a derivada parcial em θ , temos que

∂ L ∂ θ = m g ( l + x ) d d θ [ c o s ( θ ) ] = - m g ( l + x ) s e n ( θ )

a derivada parcial em relação a θ ˙ é dada por

∂ L ∂ θ ˙ = ( l + x ) 2 d d θ ˙ [ θ ˙ 2 ] = 2 ( l + x ) 2 θ ˙

agora, com um pouco mais de trabalho, precisaremos calcular a derivada total

d d t [ ∂ L ∂ θ ˙ ] = 2 d d t [ ( l + x ) 2 θ ˙ ]

usando a regra do produto e a regra da cadeia, temos que

d d t [ ∂ L ∂ θ ˙ ] = 4 ( l + x ) x ˙ θ ˙ + 2 ( l + x ) 2 θ ¨

Nossa equação do movimento é simplesmente

2 ( l + x ) 2 θ ˙ - 4 ( l + x ) x ˙ θ ˙ + 2 ( l + x ) 2 θ ¨ = 0

simplificando, temos que

( l + x ) θ ˙ - 2   x ˙ θ ˙ + ( l + x ) θ ¨ = 0

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

( l + x ) θ ˙ 2 + m g   c o s ( θ ) - k x - m x ¨ = 0 e ( l + x ) θ ˙ - 2   x ˙ θ ˙ + ( l + x ) θ ¨ = 0

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