Uma forma de medir a massa m de um objeto em uma estação espacial é suspendê-la por um sistema elástico. Primeiramente o astronauta mede a frequência f 0 de oscilação do sistema elástico com uma massa m 0 conhecida. Depois, a massa m (desconhecida) é adicionada ao sistema e uma nova medida de frequência, f , de oscilação é tomada. Qual o valor da massa m em função dos dois valores de frequência medidos?

(a) m   =   m 0   f 0 2 / f 2 .

(b) m   =   m 0 [ 1 + ( f 0 2 - f 2 ) / f 0 2 ] .

(c) m   =   m 0 ( f 0 2 / f 2 - 1 ) .

(d) m   =   m 0 ( 2 - f 0 2 / f 2 ) .

(e) Como não há gravidade, f = f 0 = 0 enão é possível determinar m .

(f) Nenhuma das respostas anteriores.

Passo 1

Não há gravidade no espaço, mas a força elástica continua existindo!

- k x = m a

Ou seja, a equação diferencial:

x ¨ + k m x = 0

Que tem como solução uma oscilação, seno ou cosseno, com frequência angular:

ω = k m

Onde ω = 2 π f .

Passo 2

Inicialmente, temos uma massa m 0 oscilando na mola (constante elástica k ) com frequência f 0 .

ω 0 = 2 π f 0 = k m 0

Ao adicionar a massa que queremos calcular m , a massa total do sistema será m + m 0 e a frequência muda para f .

ω = 2 π f = k m + m 0

Passo 3

Se dividirmos a segunda equação pela primeira:

ω ω 0 = 2 π f 2 π f 0 = k / ( m + m 0 ) k / m 0

f f 0 = m 0 m + m 0

Elevando ao quadrado dos dois lados e multiplicando cruzado:

m + m 0 f 2 = m 0 f 0 2

m f 2 = m 0 f 0 2 - f 2

m = m 0 f 0 2 - f 2 f 2

m = m 0 f 0 2 f 2 - 1

Resposta

(c) m   =   m 0 ( f 0 2 / f 2 - 1 ) .

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