Enunciado

Uma mola ideal, de comprimento relaxado l 0 e constante elástica k tem um de seus extremos presos ao teto de um laboratório. Para t < 0   um pequeno bloco de massa m é conectado à extremidade livre da mola e o sistema permanece em equilíbrio na posição x = x e q num eixo X cuja origem corresponde ao ponto em que a mola não tem deformação, como mostrado na figura ( I ). A uma altura h abaixo desta posição há um dispositivo sensível ao toque que acende uma lâmpada cada vez que é tocado pelo bloco como pode ser visto na figura ( I I ). Em t = 0   você encosta o bloco no dispositivo e o libera a partir do repouso. Despreze quaisquer forças dissipativas no sistema, utilize o eixo X da figura ( I ) e JUSTIFIQUE todas as respostas. Suponha a gravidade g conhecida.

Responda aos QUATRO itens abaixo:

1. Calcule x e q .

2. Obtenha a equação diferencial do movimento do bloco para t > 0 .

3. Considere, APENAS NESTE ITEM, que m = 500 g . Para que valor da constante elástica k da mola a lâmpada acende em intervalos de tempo de 0.1 π segundo?

4. Determine a função de movimento x ( t ) do bloco para t > 0

USANDO AS CONDIÇÕES INICIAIS.

Passo 1

(a)

Na posição de equilíbrio, temos a seguinte situação:

Bom, e na posição de equilíbrio a força resultante sobre o bloco é nula, dessa forma:

F R = 0

- k x e q + m g =   0 → x e q = m g k

Passo 2

(b)

Bom, para encontrarmos a equação diferencial do movimento, vamos olhar para equação da força resultante atuando sobre o bloco! As forças que atuam sobre o bloco são seu peso e a força exercida pela mola, em sentidos contrários, certo? Pela segunda Lei de Newton, temos:

F R   =   m a

Lembrando que podemos escreve a aceleração ( a ) como ( x ¨ ) e substituindo as forças elástica e peso:

F R = m x ¨   =   - k x   +   m g  

Passando - k x para o outro lado e dividindo tudo por m :

x ¨   + k m x   =   g

x ¨   +   ω 0 2 x   =   g

Pronto, essa é a equação diferencial do movimento!! Onde ω 0 = k m é a frequência natural de oscilação do sistema.

DICA: para achar a equação diferencial de algum movimento, tenta olhar para a segunda Lei de Newton e fazer essas continhas!! Ela ajuda muito 😊

Passo 3

(c)

O período no qual a lâmpada acende é igual ao período de oscilação do bloco. Já que, para tocar no dispositivo, ela deve descer tuuudo e depois subir, completando o movimento de oscilação! Assim, temos:

ω 0 = 2 π T

T = 2 π ω 0 = 2 π m k  

O problema quer que a lâmpada acenda num intervalo de 0,1 π   s , logo T = 0,1 π   s . E, elevando a equação toda ao quadrado:

0.1 π 2 = 2 π 2 ∙ 0.5 k ⇒ k = 200   N / m

Passo 4

(d)

A função de movimento x ( t ) é justamente a solução da equação diferencial que achamos na letra (b)! E vai ter essa cara ó:

x t = x h t + x p t = A c o s ω 0 t + φ + x p t ,

onde x p ( t ) é uma solução particular da equação diferencial. Além disso, podemos lembra da teoria que a solução homogênea de um movimento harmônico qualquer é dado pelo movimento harmônico simples, ou seja, pode ser escrita na forma:

x h ( t ) = A c o s ( ω 0 t + φ )

Onde A e φ são constantes a serem determinadas a partir das condições iniciais.

Olhando pra equação da letra (b):

x ¨   +   ω 0 2 x   =   g

Vemos que o termo não homogêneo da equação diferencial é constante (é a gravidade g ali do lado esquerdo da igualdade). Então, é só colocar como solução particular da edo ( x p ), uma constante c qualquer. Então, substituindo na edo que x p t = c :

0 + ω 0 2 c = g

x p t = c = g ω 0 2   = m g k

Assim, a solução geral do problema fica:

x t = x h t + x p ( t ) = A c o s ( ω 0 t + φ ) + g ω 0 2

Passo 5

Agora vamos achar o valor das constantes usando as condições iniciais do problema!

No enunciado ele diz que em t = 0   você encosta o bloco no dispositivo e o libera a partir do repouso. Logo:

x 0 = x e q + h

x 0 = g ω 0 2 + h

Nossa solução x t = A c o s ( ω 0 t + φ ) + g ω 0 2 , então x 0 = A c o s φ + g ω 0 2 .

Com isso:

A c o s φ + g ω 0 2 = g ω 0 2 + h

  A c o s ( φ )   = h

Bom, isso não nos diz muita coisa ainda. Mas calma, vamos ver se a equação da velocidade do movimento nos diz alguma coisa.

Como o bloco é liberado do repouso:

x ˙ 0 =   0

E, derivando x ( t ) em relação a t :

x ˙ t =     - ω 0 A s e n ω 0 t + φ

Como vimos:

x ˙ 0 =   0   =   - ω 0 A s e n φ

Isso implica que   φ = 0 , já que - ω 0 A é diferente de zero!

Substituindo φ em A c o s ( φ )   = h , que achamos agora há pouco:

A   =   h

Desta forma, a solução do problema x t = A c o s ( ω 0 t + φ ) + g ω 0 2 fica escrita como:

x t = m g k +   h c o s ( ω 0 t )

Lembrando que ω 0 = k m .

Amém! Acabamos hahaha deu tudo certo!

Resposta

  1. x e q = m g k
  2. x ¨   +   ω 0 2 x   =   g , onde ω 0 = k m
  3. k = 200   N / m
  4. x t = m g k +   h c o s ( ω 0 t )

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