Considere um pêndulo constituído de uma mola com uma massa m presa na sua extremidade, conforme mostrado na Figura 1 . A mola é disposta de tal forma que fica em linha reta (por exemplo, podemos imaginar que existe uma barra rígida envolvida pela mola). O comprimento da mola é l . A mola é então esticada de um comprimento x , passando a assumir um comprimento l + x . Ao mesmo tempo, o pêndulo é deslocado de um ângulo θ com a vertical. Com base nessas informações, considere as alternativas a seguir.

a ) Mostre que a lagrangeana correspondente ao sistema dado é

L = 1 2 ( x ˙ 2 + ( l + x ) 2 θ ˙ 2 ) + m g ( l + x ) c o s ( θ ) - 1 2 k x 2

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

A seguinte figura é um bom resumo de nosso enunciado

uma massa m presa a uma mola que oscila em um pêndulo. Estamos considerando que a mola não se curva, apenas se estica, e as condições em um instante qualquer de tempo são que ela está em um posição angular θ e esticada de x . Tanto x quanto θ são funções do tempo, sabendo isso, como podemos construir a lagrangeana pedida? Parece assustador, mas é simplesmente aplicando a definição

L = K - U

em que K é a energia cinética, e U é a energia potencial em relação a um referencial! Vamos tentar fazer isso! Vem comigo!

Passo 2

A massa m tem energia cinética dada por

K = 1 2 m v 2

note que a velocidade é a derivada das coordenadas da partícula no tempo, em nosso caso, temos que as coordenadas podem ser escritas em termos do ângulo como

x ' → = ( l + x )     s e n ( θ )   x ' ^ e y ' → = ( l + x )   c o s ( θ )   y ^ '

tome cuidado para não confundir x e x ' , x ' é a horizontal de um referencial, e x é a mola sendo esticada. Se derivarmos ambos os vetores em relação ao tempo, temos as seguintes expressões

d x ' → d t = l   c o s ( θ ) θ ˙ + x ˙   s e n ( θ ) + x   c o s ( θ ) θ ˙ = θ ˙ c o s ( θ ) ( l + x ) + x ˙   s e n ( θ )

e, da mesma forma, temos que

d y ' → d t = - l   s e n ( θ ) θ ˙ + x ˙   c o s ( θ ) - x   s e n ( θ ) θ ˙ = x ˙ c o s ( θ ) - θ ˙   s e n ( θ ) ( l + x )

A velocidade v 2 é a soma dos dois coeficientes acima ao quadrado, temos que

v 2 = [ θ ˙ c o s ( θ ) ( l + x ) + x ˙   s e n ( θ ) ] 2 + [ x ˙ c o s ( θ ) - θ ˙   s e n ( θ ) ( l + x ) ] 2

expandindo os produtos e simplificando termos, temos que

v 2 = x ˙ 2 + ( l + x ) 2 θ ˙ 2

e, a energia cinética é dada simplesmente por

K = 1 2 m [ x ˙ 2 + ( l + x ) 2 θ ˙ 2 ]

Note que foi preciso usar a identidade s e n 2 ( θ ) + c o s 2 ( θ ) = 1 . Vamos escrever a nossa energia potencial agora!

Passo 3

A energia potencial depende do referencial, para ficar mais simples de visualizar, eu escolhi um referencial da forma

neste caso teremos que a energia potencial é a combinação de dois termos, a energia potencial gravitacional e a energia potencial elástica devido a mola. A primeira é dada por

U g = - m g   y ' = - m g   ( l + x )   c o s ( θ )

O sinal negativo na fórmula é consequência do teorema do trabalho e energia, note que a energia tem que diminuir quando eu vou para valores maiores de y ' (em minha escolha que y ' aponta para baixo). A energia potencial elástica de uma mola depende do quanto ela está esticada, da seguinte maneira

U e l á s t i c a = 1 2 k   x 2

em que x é simplesmente o deslocamento da mola! Sendo assim, a nossa energia potencial é dada por

U = 1 2 k x 2 - m g ( l + x ) c o s ( θ )

e, finalmente, a lagrangeana pode ser escrita como

L = 1 2 m [ x ˙ 2 + ( l + x ) 2 θ ˙ 2 ] + m g ( l + x ) c o s ( θ ) - 1 2 k x 2

A primeira alternativa foi isso! Te vejo na próxima!

Resposta

Ao longo dos passos!

Exercícios de Livros Relacionados

Na figura, um bloco pesando 14,0N , que pode deslizar sem atrito em um plano inclinado de ângulo θ = 40,0 ° , está ligado ao alto do plano inclinado por uma mola de massa desprezível de 0,450m de comp
Um oscilador é formado por um bloco preso a uma mola ( k = 400N / m ). Em um certo instante t , a posição (medida a partir da posição de equilíbrio do sistema), a velocidade e a aceleração do bloco sã
Um bloco de 1,2k g deslizando em uma superfície horizontal sem atrito está preso a uma mola horizontal com k = 480N / m . Seja x o deslocamento do bloco a partir da posição na qual a mola se encontra
A figura mostra uma massa de 1,0k g colocada sobre uma massa de 5,0k g que oscila sobre uma superfície sem atrito. A constante elástica é de 50N / m , e o coeficiente de atrito estático entre os dois
A figura mostra um bastão homogêneo de 200g com um orifício em uma das extremidades. A outra extremidade é presa a uma mola horizontal. Quando o bastão está suspenso exatamente na vertical, a mola não