Um sistema massa-mola não amortecido é formado por um bloco de massa m e por uma mola de constante elástica k . O sistema é submetido a uma força externa dada por

F t =   F 0 c o s 2 ω o t , sendo   ω 0 = k m

Sabendo que no instante t   =   0 , o bloco encontra-se em repouso, na posição x   =   0 , é correto afirmar que:

a) x t = 0  

b) x t = F o 3 m ω o 2 cos ⁡ ω o t - cos ⁡ 2 ω o t

c)   x t = F o 3 m ω o 2 sin ⁡ ω o t

d)   x t = F o 3 m ω o 2 [ 1 - cos ⁡ ω o t ]

e) Nenhuma das demais alternativas.

Passo 1

A equação diferencial para a posição x ( t ) do oscilador neste caso é

x ˙ ˙ + ω o 2 x = F o m cos ⁡ ( 2 ω o t ) , com ω o = k / m

Cuja solução éa soma da solução geral da equação homogênea associada com a solução particular da equação não-homogênea:

x t = B c o s ω o t + ϕ + A ∩ cos ⁡ 2 ω o t + ϕ

Como ∩ = 2 ω 0 > ω o , a fase ϕ é igual a π e amplitude A ( ∩ ) é

A 2 ω o = F o m ω o 2 - 2 ω o 2 = F o 3 m ω o 2  

Logo, temos

x t = B c o s ω o t + ϕ - F o 3 m ω o 2 cos ⁡ 2 ω o t

x   ̇ t = - ω o B s i n ω o t + ϕ - 2 F o 3 m ω o 2 sin ⁡ 2 ω o t

Aplicando as condições iniciais

x 0 = 0 = B c o s ϕ - F o 3 m ω o 2

x ˙ 0 = 0 = - ω o B s i n ϕ

Temos que ϕ = 0   e B = F o 3 m ω o 2 ,   logo

x t = F o 3 m ω o 2 [ cos ⁡ ω o t - cos ⁡ 2 ω o t ]

Resposta

Letra b

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