Um oscilador ( 1 ) consiste em um bloco de massa 400   g preso a uma dada mola. Ao oscilar com amplitude de 18,0   c m ele repete seu movimento a cada 0,480   s . Suponha que a posição seja dada por x 1 t = x m . cos ⁡ ( ω . t + ϕ ) . Se a posição do bloco em t = 0,120   s é a maior possível, determine:

a ) O período T e a frequência angular do movimento;

b ) A constante da mola;

c ) A velocidade máxima e a energia mecânica do oscilador;

d ) A constante de fase ϕ ;

Suponha agora que outro oscilador ( 2 ) , idêntico ao primeiro e oscilando paralelamente a ele, seja liberado, em t = 0 , a partir do repouso na posição x 2 = 18,0   c m .

e ) Escreva as expressões x 1 t e x 2 ( t ) , das posições dos osciladores, e represente num mesmo gráfico essas funções para 0 ≤ t ≤ T .

f ) Encontre as duas posições em que eles se cruzam.

Passo 1

a )

O período é o tempo necessário para que um ciclo se complete, pelo enunciado, temos que:

T = 0,480   s

A gora que temos o período, determinar a frequência angular é fácil, se liga:

ω = 2 . π T

ω = 2 . π 0,480

ω = π 0,240 ≈ 13,1   r a d / s

Passo 2

b )

Agora que temos a frequência angular, determinar a constante elástica é tranquilo, basta lembrar que:

ω = k m

Substituindo, temos

k = m . ω 2

k = 0,4 . 13,1 2

k = 68,6   N / m

Passo 3

c )

Para determinar a velocidade máxima do oscilador, precisamos lembrar como funciona esse negócio! O oscilador, quando em posição de mínimo ou máximo, tem que sua energia mecânica é puramente elástica:

E m e c = E e l = k . x 2 2

E valerá:

E m e c = E e l = k . A 2 2 = 68,6 . 0,18 2 2

E m e c = 1,11   J

Quando o oscilador estive passando por x = 0 , temos que a energia mecânica será puramente energia cinética, e valera:

K = m . v 2 2 = E m e c

Substituindo, temos:

0,400 . v 2 2 = 1,11

v = 2,36   m / s

Passo 4

d )

Para determinar a constante de fase, vamos primeiro determinar a função x 1 ( t ) . Das informações que já temos, fica:

x 1 t = x m . cos ⁡ ω . t + ϕ

x 1 t = 0,18 . cos ⁡ π 0,240 . t + ϕ

O enunciado nos diz que para t = 0,120   s , x é máximo, ou seja:

x 1 t = 0,120 = 0,18

x 1 t = 0,120 = 0,18 . cos ⁡ π 0,240 . 0,120 + ϕ = 0,18

cos ⁡ π 2 + ϕ = 1 → π 2 + ϕ = 0

ϕ = - π 2

Passo 5

e )

Agora que já temos a função x 1 ( t ) , porque achamos no item anterior, basta achar x 2 ( t ) , moleza! Simbora então!

Como temos que o oscilador é idêntico ao primeiro, já sabemos a amplitude e a frequência angular, basta determinar a constante de fase. A função x 2 ( t ) fica:

x 2 t = x m . cos ⁡ ω . t + ϕ

x 2 t = 0,18 . cos ⁡ π 0,240 . t + ϕ

Vamos determinar a constante de fase da mesma maneira que no item anterior, ele diz no enunciado que para t = 0 , temos x 2 = 0,18   m , substituindo, temos:

x 2 t = 0 = 0,18

x 2 t = 0 = 0,18 . cos ⁡ π 0,240 . 0 + ϕ = 0,18

cos ⁡ ϕ = 1

ϕ = 0

Agora sim, temos as duas funções:

x 1 t = 0,18 . cos ⁡ π 0,240 . t - π 2

x 2 t = 0,18 . cos ⁡ π 0,240 . t

O gráfico das duas funções deve ficar assim:

Passo 6

f )

Para determinar os pontos em que os osciladores se cruzam, precisamos satisfazer à seguinte equação:

x 1 t = x 2 ( t )

Assim, iremos achar os tempos em que eles se cruzam, depois, basta substituir em uma das funções para determinar a posição, se liga!

x 1 t = x 2 ( t )

0,18 . cos ⁡ π 0,240 . t - π 2 = 0,18 . cos ⁡ π 0,240 . t

cos ⁡ π 0,240 . t - π 2 = cos ⁡ π 0,240 . t

π 0,240 . t - π 2 = ± π 0,240 . t

Daqui, tiramos que o único tempo possível é:

π 0,240 . t - π 2 = - π 0,240 . t

π 0,120 . t = π 2

t = 0,060   s

Para determinar a posição, basta substituir em qualquer uma das duas funções, aqui, vou substituir em x 2 ( t ) !

x 2 t = 0,060 = 0,18 . cos ⁡ π 0,240 . 0,060

x 2 t = 0,060 = 0,18 . cos ⁡ π 4 = 0,127   m

x 1 = 0,127 m

simetricamente, temos que os osciladores se encontraram em x 2 = - 0,127   m

Resposta

a )   T = 0,480   s ;     ω = π 0,240 ≈ 13,1   r a d / s

b )   k = 68,6   N / m

c )   E m e c = 1,11   J ;   v = 2,36   m / s

d )   ϕ = - π 2

e )       x 1 t = 0,18 . cos ⁡ π 0,240 . t - π 2 ;   x 2 t = 0,18 . cos ⁡ π 0,240 . t

f )   x 1 = 0,127   m ; x 2 = - 0,127 m  

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