Exercícios Resolvidos de Vetor Velocidade e Aceleração Instantânea

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Enunciado

A aceleração de uma partícula é dada por a x =   - 2.00   m / s ²   +   ( 3.00   m / s 3   ) t

a ) Encontre a velocidade inicial v 0 x tal que a partícula tenha coordenada horizontal em   t   =   2.00   s igual a que teria em   t   =   0   s

Passo 1

Olá pessoal lindo do Responde Aí, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Vamos começar? O enunciado nos dá a aceleração de uma partícula em função de t e em seguida deseja que encontremos o valor da velocidade horizontal da partícula para que sua posição em t   =   0   s   e   t   =   2 s coincidam. Sendo assim, temos que lembrar que a aceleração é uma variação da velocidade sobre o tempo. E para que possamos encontrar a velocidade em função da aceleração é necessário integrar a aceleração, já que essa não é constante.

a x   =   v x   - v 0 x t  

  v x   = v 0 x   +   a x   t  

Integrando a x   para encontrar v x :

  v x   = v 0 x   +   ∫ 0 t a x   d t  

Para resolver essa integral temos que relembrar de como se calcula uma integral com potência:

∫ t n d t   =   t n + 1 n + 1

Como a questão nos deu que a x ( t ) =   - 2.00   m / s ²   +   ( 3.00   m / s 3   ) t , a integral primitiva terá a seguinte cara:

∫ a x ( t )   d t   = ∫ ( - 2.00   m / s ²   +   ( 3.00   m / s 3   ) t ) d t  

Lembrete! A integral da soma é a soma das integrais, não esqueçam!!!

= ∫ - 2.00 m s 2 d t +   ∫ ( 3.00   m / s 3   ) t ) d t

=   - 2.00 t   + 3.00 t 1 + 1 1 + 1

=   - 2.00 t   + 3.00 t ² 2

Assim,

  v x   = v 0 x   - 2.00 t   + 3.00 t ² 2  

Entretanto, não acabou por aqui!

Passo 2

A questão quer a velocidade v 0 x para para que sua posição em t   =   0   s   e   t   =   2 s sejam iguais, então teremos que integrar novamente a função do passo anterior, uma vez que a velocidade é a variação da posição em um dado tempo.

x   =   x 0 +   v 0 x t + a x t ² 2

Integrando v x   para encontrar   x 0 :

  ∫ v x d t   = ∫ ( v 0 x   - 2.00 t   + 3.00 t ² 2 ) d t  

= ∫ v 0 x d t + ∫ - 2.00 t d t   + ∫ 3.00 t ² 2 d t    

=   v 0 x t - 2.00 t ² 2   + 3.00 t 3 6

Dessa forma temos que a função da posição será dada por:

x   =   x 0 +   v 0 x t - 2.00 t ² 2   + 3.00 t 3 6

Como em t   =   0 s ,   x   =   x 0   , então como x ( 0 )   =   x ( 4 ) podemos afirmar que em t   =   4 s ,   x   = x 0 também!

Passo 3

Sabendo que para t   =   4 s ,     x   = x 0 :

x   =   x 0 +   v 0 x t - 2.00 t ² 2   + 3.00 t 3 6

0 =   v 0 x t - 2.00 t ² 2   + 3.00 t 3 6  

Substituindo t   =   4 s :

0 =   v 0 x ( 4 ) - 2.00 ( 4 ) ² 2   + 3.00 ( 4 ) 3 6  

0 =   4 v 0 x - 16   + 32  

- 16 =   4 v 0 x  

v 0 x   =   - 4   m / s

A questão foi um pouquinho trabalhosa e mais técnica, entretanto, aposto que vocês serão capazes de responder outras parecidas! Bora lá?!

Resposta

v 0 x   =   - 4   m / s

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