Exercícios Resolvidos de Vetor Velocidade e Aceleração Instantânea

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Enunciado

Uma partícula descreve a seguinte trajetória:

r → t = 3 t i ^ + 1 - t 4 j ^ + 2 k ^

O ângulo formado entre a posição e a velocidade da partícula no instante t = 1   s é:

a) 45°

b) arccos ⁡ 9 15

c) arccos ⁡ 9 5 13

d) arcsen ⁡ 9 15 13

e) arcsen ⁡ 9 15

Passo 1

O vetor velocidade instantânea da partícula é dado por:

v → t = d r → t d t = 3 i ^ - 4 t 3 j ^

Em t = 1   s temos os dois vetores:

r 1 → = r → 1 = 3 i ^ + 2 k ^

v 1 → = v → 1 = 3 i ^ - 4 j ^

Agora, para encontrar o ângulo entre estes dois vetores. Podemos utilizar o produto escalar:

r 1 → · v 1 → = r 1 v 1 cos ⁡ θ

Temos que:

r 1 = | r 1 → | = 13

E

v 1 = | v 1 → | = 5

Assim obtemos:

r 1 → · v 1 → = 5 13 cos ⁡ θ

Para efetua a multiplicação r 1 → · v 1 → , basta multiplicar as componentes dos vetores assim:

5 13 cos ⁡ θ = r x . v x + r y . v y + r z . v z

5 13 cos ⁡ θ = 3   .   3 + 0 . - 4 + 2   .   0

cos ⁡ θ = 9 5 13

Ou seja,

θ = arccos ⁡ 9 5 13

Resposta

Letra (c)

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