Exercícios Resolvidos de Vetor Velocidade e Aceleração Instantânea

Ver Teoria

Enunciado

O vetor posição de uma partícula que se move no plano X Z é dado por:

r → = 2 t 3 + t 2 i ^ + 3 t 2 k ^

Onde r → é dado em metros e t em segundos. Determine:

(a) o vetor velocidade instantânea da partícula, seu módulo e direção, para o instante t = 1,0   s .

(b) o vetor aceleração instantânea da partícula para o instante t = 2,0   s .

(c) o vetor deslocamento da partícula entre os instantes de tempo t 1 = 1,0   s e t 2 = 2,0   s .

(d) o vetor velocidade média da partícula no intervalo de tempo t 1 = 1,0   s e t 2 = 2,0   s .

Passo 1

a)

O vetor velocidade instantânea pode ser obtido pela derivação do vetor posição em função do tempo, ou seja:

v → ( t ) = d r → t d t = 6 t 2 + 2 t i ^ + 6 t k ^

Portanto o vetor velocidade instantânea para t = 1   s vale:

v → 1 = 6   .   1 2 + 2   .   1 i ^ + 6   .   1 k ^

v → 1 = 8 i ^ + 6 k ^   m / s

Já temos a direção, agora podemos obter o módulo pela fórmula:

v = v x 2 + v y 2 + v z 2

v 1 = 8 2 + 6 2 = 10   m / s

Passo 2

b)

O vetor aceleração instantânea pode ser obtido pela derivação do vetor velocidade em função do tempo, ou seja:

a → t = d v → t d t = 12 t + 2 i ^ + 6 k ^

Portanto o vetor aceleração instantânea para t = 2   s vale:

a → 2 = 12   .   2 + 2 i ^ + 6 k ^

a → 2 = 26 i ^ + 6 k ^   m / s 2

Passo 3

c)

As posições para os instantes t = 1   s e t = 2   s valem:

r → 1 = 2   .   1 3 + 1 2 i ^ + 3   .   1 2 k ^

r → 1 = 3 i ^ + 3 k ^   m

r → 2 = 2   .   2 3 + 2 2 i ^ + 3   .   2 2 k ^

r → 2 = 20 i ^ + 12 k ^   m

Portanto do deslocamento é igual a:

r → 2 - r → 1 = 20 - 3 i ^ + 12 - 3 k ^

∆ r → = 17 i ^ + 9 k ^   m

Passo 4

d)

A velocidade média pode ser obtida pela razão:

v m → = ∆ r → ∆ t

Logo temos que:

v m → = 17 i ^ + 9 k ^ 2 - 1

v m → = 17 i ^ + 9 k ^   m / s

Resposta

a) v → 1 = 8 i ^ + 6 k ^   m / s ; v 1 = 10   m / s

b) a → 2 = 26 i ^ + 6 k ^   m / s 2

c) ∆ r → = 17 i ^ + 9 k ^   m

d) v m → = 17 i ^ + 9 k ^   m / s

Exercícios de Livros Relacionados

Um objeto projetado verticalmente para cima, com rapidez ini
Um avião voa 483k m para leste, da cidade A para a cidade B
A posição r → de uma partícula que se move em um plano x y é
A posição de um elétron é dada por r=3,00 t i - 4,00 t ² j+2