Exercícios Resolvidos de Vetor Velocidade e Aceleração Instantânea

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Enunciado

O vetor posição de uma partícula que se move no plano x y é dado por:

r → t = 20 + 20 t i ^ + 10 t + 5 3 t 3 j ^

Onde r → é dado em metros e t em segundos. Determine:

a O vetor velocidade instantânea da partícula, seu módulo e direção (ângulo θ em relação ao eixo x ) para o instante t = 1   s ;

b O vetor aceleração instantânea da partícula, seu módulo e direção (ângulo θ em relação ao eixo x ) para o instante t = 2   s ;

c   O vetor deslocamento da partícula no intervalo de tempo t = 0   s até t = 3   s ;

d   O vetor velocidade média da partícula no intervalo de tempo t = 0   s até t = 3   s .

Dado: y x = a x n ⇒ d y x d x = a n x n - 1

Passo 1

a O vetor velocidade instantânea pode ser obtido pela derivação do vetor posição em função do tempo, ou seja:

V → t = d r → t d t

V → t = d d t 20 + 20 t i ^ + 10 t + 5 3 t 3 j ^

V → t = 20   i ^ + 10 + 5 t 2 j ^     m / s

Portanto o vetor velocidade instantânea para t = 1   s vale:

V → 1 = 20   i ^ + 10 + 5   .   1 2 j ^

V → 1 = 20   i ^ + 15   j ^   m / s

E o módulo vale:

V = 20 2 + 15 2

V = 25   m / s

Já temos as componentes x e y , podemos fazer uma analogia em que a componente y é o cateto oposto, e a componente x é o cateto adjacente. E então utilizando relação trigonométrica encontramos o ângulo do vetor resultante com o cateto adjacente, ou seja, com o eixo x . Então:

tg ⁡ θ = c a t .   o p c a t .   a d j

tg ⁡ θ = 15 20

tg ⁡ θ = 3 4

θ = arctg ⁡ 3 4

θ = 36,87 °

Passo 2

b   O vetor aceleração instantânea pode ser obtido pela derivação do vetor velocidade em função do tempo, ou seja:

a → = d V → t d t

a → = d d t 20   i ^ + 10 + 5 t 2 j ^  

a → = 10 t   j ^   m / s 2

O módulo do vetor para t = 2   s vale:

a 2 = 10   .   2

a = 20   m / s 2

Sua direção é j ^ (paralela ao eixo y ).

Passo 3

c   As posições para os instantes t = 0   s e t = 3   s valem:

r → 0 = 20 + 20   .   0 i ^ + 10   .   0 + 5 3 . 0 3 j ^

r → 0 = 20   i ^   m

r → 3 = 20 + 20   .   3 i ^ + 10   .   3 + 5 3 3 3 j ^

r → 3 = 80   i ^ + 7 5   j ^   m

Portanto o deslocamento é igual a:

Δ r → = r → 3 - r → 0

Δ r → = 80   i ^ + 7 5   j ^ - 20   i ^

Δ r → = 60   i ^ + 7 5   j ^   m

Passo 4

d   A velocidade média entre os intervalos t = 0   s e t = 3   s é por definição igual a:

v → m = Δ r → Δ t

Agora é só jogar na fórmula:

v → m = 60   i ^ + 7 5   j ^ 3 - 0

v → m = 20   i ^ + 2 5   j ^   m / s

Resposta

a   V → 1 = 20   i ^ + 15   j ^   m / s V = 25   m / s θ = arctg ⁡ 3 4

b   a 2 = 20   j ^ m / s a = 20   m / s 2 P a r a l e l o   a o   e i x o   y

c   Δ r → = 60   i ^ + 7 5   j ^   m

d   v → m = 20   i ^ + 2 5   j ^   m / s

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