Exercícios Resolvidos de Vetor Velocidade e Aceleração Instantânea

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Enunciado

Uma partícula A move-se ao longo da reta y   =   D   =   30   m , com uma velocidade constante ⃗ v A = 3   i ^ (m/s). Uma segunda partícula, B, começa a movimentar-se, a partir da origem, com velocidade inicial nula e com aceleração constante ⃗ a , tal que | ⃗ a |   =   0 ,   40   m / s 2 , no mesmo instante em que a partícula A passa pelo eixo y. Qual deve ser o valor do ângulo θ, entre o vetor ⃗ a e o eixo y, para que, nesta situação, ocorra uma colisão entre A e B? Em que posição a colisão ocorreu?

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos a seguinte situação: uma partícula A move-se ao longo da reta y   =   D   =   30   m , com uma velocidade constante ⃗ v A = 3   i ^ (m/s). Uma segunda partícula, B, começa a movimentar-se, a partir da origem, com velocidade inicial nula e com aceleração constante ⃗ a , tal que | ⃗ a |   =   0 ,   40   m / s 2 , no mesmo instante em que a partícula A passa pelo eixo y. Devemos determinar qual deve ser o valor do ângulo θ, entre o vetor ⃗ a e o eixo y, para que, nesta situação, ocorra uma colisão entre A e B, e em que posição a colisão ocorreu.

Primeiro vamos escrever os vetores posição para as duas partículas e verificar qual o valor de θ para que eles sejam iguais em um determinado instante de tempo.

Vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos escrever o vetor aceleração em componentes x e y:

⃗ a =   0 ,   40   s e n   ( θ ) i ^   +   0 ,   40   c o s   ( θ )   j ^    

sendo θ o ângulo que esse vetor forma com o eixo y. Temos que o vetor posição da partícula B que sai da origem com velocidade nula é dado por:

⃗ r B ( t ) = 1 2 ⃗ a   t 2 =   0 ,   40   s e n   ( θ )   t 2   i ^   +   0 ,   40   c o s   ( θ )   t 2     j ^   .

Passo 3

Temos que o vetor posição da partícula A que tem posição inicial ⃗ r A ( 0 ) = 30   j ^   ( m ) e uma velocidade constante ⃗ v A = 3   i ^ (m/s). é dado por:

⃗ r A ( t ) = ⃗ r A ( 0 ) + ⃗ v A t = 30 j ^   + 3   t   i ^  

Passo 4

Para que os vetores ⃗ r A ( t ) e ⃗ r B ( t ) sejam iguais, suas componentes devem ser iguais, então temos as relações:

  0 ,   40   s e n ( θ )   t 2   = 3   t

  0 ,   40   c o s   ( θ )   t 2   = 30

daqui temos que

  0 ,   40   t 2   = 3 s e n ( θ )   t

t = 3 0,40   s e n ( θ )

Substituindo

  3 s e n ( θ )   t   c o s   ( θ ) = 30

  t   = 10   t a n   ( θ )

Temos que se a colisão ocorrer no instante de tempo   t   = 10 s , então:

t a n   ( θ ) = 1

θ = 45 ° .

Passo 5

A posição que a colisão ocorre será dada por um dos vetores posição no tempo   t   = 10 s e θ = 45 ° :

⃗ r A ( 10   s ) = 30 j ^   + 3   ( 10 )   i ^   = 30 (   i ^ +   j ^     )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

No decorrer da questão.

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