Exercícios Resolvidos de Vetor Velocidade e Aceleração Instantânea

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Enunciado

As posições de um objeto em movimento bidimensional são dadas pelo vetor posição: r → = 2 + 30 t i ^ + 3 + 0,25 t 2 j ^ , onde todas as quantidades estão no sistema internacional de unidades. Qual é o ângulo que o vetor velocidade faz com o eixo x no instante t = 1   m i n u t o após iniciado o movimento?

(A) 0 °

(B) 30 °

(C) 60 °

(D) 45 °

(E) 90 °

Passo 1

A posição da partícula varia em função do tempo de acordo com o vetor posição r → :

r → = 2 + 30 t i ^ + 3 + 0,25 t 2 j ^

Mas não estamos interessados diretamente no vetor posição r → e sim no vetor velocidade v → .

Mas qual o vetor velocidade v → ?

Bom, lembra que a velocidade é a variação da posição?

Na verdade, a velocidade média...

v m = ∆ S ∆ t

Mas e se quisermos uma velocidade precisa em um instante de tempo (por exemplo: t = 1   m i n u t o ?

A ideia é calcular a velocidade média com um intervalo de tempo ∆ t tão pequeno que ele tende a zero, ou seja, calculando assim a velocidade instantânea.

Isso que acabamos de dizer é o conceito de Derivada, ou seja, a velocidade é a derivada da posição:

v = d S d t

Ou ainda na forma vetorial:

v → = d r → d t

Então, vamos derivar esse vetor posição r → para achar o vetor que queremos v → .

Passo 2

Para derivar um vetor, basta derivar cada uma de suas componentes:

v → = d r → d t

v → = 2 + 30 t ' i ^ + 3 + 0,25 t 2 ' j ^

v → = 0 + 30 1 i ^ + 0 + 0,25 2 t j ^

v → = 30 i ^ + 0,5 t j ^

Passo 3

Agora, podemos encontrar qual pe o vetor velocidade no instante t = 1   m i n u t o .

Mas, muita atenção!

O enunciado deixou claro que o vetor estava nas unidades do Sistema Internacional, ou seja, o tempo está em segundos s .

Logo o instante de tempo t = 1   m i n u t o deve entrar na expressão como t = 60   s :

v → = 30 i ^ + 0,5 60 j ^

v → = 30 i ^ + 30 j ^

Passo 4

Para achar o ângulo que esse vetor faz com a horizontal, podemos usar uma relação entre suas componentes:

Se deslocarmos v → y , podemos ver que temos um triâgulo retângulo.

Então, podemos relacionar as duas componentes com o ângulo a partir de:

t g θ = v y v x

t g θ = 30 30 = 1

Qual o ângulo que tem tangente igual a 1 ?

Isso mesmo:

θ = 45 °

Então, o vetor velocidade no instante t = 60   s = 1   m i n faz 45 ° com a horizontal.

Resposta

Letra (D)

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