Exercícios Resolvidos de Vetor Velocidade e Aceleração Instantânea

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Enunciado

Uma partícula tem uma aceleração constante a → = 6,0 m / s 2 i ^ + ( 4,0   m / s 2 ) j ^ . No tempo t = 0 , a velocidade é zero e o vetor posição é r → 0 = ( 10   m ) i ^ . a Encontre os vetores velocidade e posição em função do tempo t . b   Encontre a equação da trajetória (de y em função de x ) da partícula no plano x y e esboce a trajetória.

Passo 1

O problema nos fornece a equação da aceleração de um partícula e nos pede os vetores velocidade e posição em função do tempo.

Como a variação da velocidade é a integral da aceleração e o vetor deslocamento é a integral da velocidade. Precisamos apenas integrar a equação da aceleração. Então vamos lá.

Passo 2

a Primeiro vamos encontrar a equação da velocidade, integrando a aceleração

v → t - v → t 0 =   ∫ t 0 t a → x ( t ) .   i ^ + ∫ t 0 t a → y ( t )   .   j ^ + ∫ t 0 t a → z ( t )   .   k ^

Substituindo os valores de a x ,     a y , a z ,   t 0 = 0 e o de v → t 0 que o enunciado diz ser zero.

v → t =   ∫ 0 t 6,0 .   i ^ + ∫ 0 t 4,0   .   j ^

v → t = 6,0 . t . i ^ + 4,0 . t . j ^

Passo 3

Para achar o vetor posição devemos integrar a velocidade

r → t 1 - r → t 0 =   ∫ t 0 t 1 v → x ( t ) .   i ^ + ∫ t 0 t 1 v → y ( t )   .   j ^ + ∫ t 0 t 1 v → z ( t )   .   k ^

Vamos substituir os valores que acabamos de encontrar e o valor de r → 0 = 10 .   i ^

r → t - 10 . i ^   =   ∫ 0 t 6,0 . t   .   i ^ + ∫ 0 t 4,0 . t   .   j ^

r → t - 10 . i ^ = 3 . t 2 . i ^ + 2 . t 2 . j ^

r → t = ( + 10 + 3 . t 2 ) . i ^ + 2 . t 2 . j ^

Passo 4

b Para acharmos a equação da trajetória temos que sumir com o tempo e deixar a equação de forma que y   fique em função de x .

Pela equação da posição que acabamos de encontrar tempos que a posição x = 10 + 3 t 2 e a posição y = 2 t 2 .

Se isolarmos o tempo na equação de y , temos

t 2 = y 2

Podemos substituir isso na equação de x e assim achamos a relação entre x e y

x = 10 + 3 . y 2

Isolando y   para acharmos a equação da trajetória

y = 2 x 3 - 20 3

A trajetória será uma reta no plano x y

Resposta

a v → t = 6,0 . t . i ^ + 4,0 . t . j ^

          r → t = ( + 10 + 3 . t 2 ) . i ^ + 2 . t 2 . j ^

b   y = 2 x 3 - 20 3

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