Exercícios Resolvidos de Vetor Velocidade e Aceleração Instantânea

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Enunciado

Uma partícula executa movimento cujo vetor posição é dado por r → = x t i ^ + y t j ^ com x ( t ) = t c o s ( ω t ) e y ( t ) = c o s ( ω t ) , sendo ω = c o n s t a n t e . Marque o vetor abaixo que é ortogonal ao vetor aceleração a → ( t ) da partícula.

(a) - ω 2 c o s ω t i ^ + ω 2 c o s ω t + 2 ω s e n ω t j ^

(b) 2   c o s ω t - t s e n ω t   i ^ - c o s ω t   j ^

(c) ( c o s ω t - s e n ω t i ^ - c o s ω t j ^ ) ω

(d) - 2   c o s ω t + t s e n ω t i ^ + c o s ω t j ^ ω 2

(e) 2   c o s ω t - t s e n ω t i ^ - c o s ω t j ^

Passo 1

O exercício nos deu as duas componentes do vetor posição r → t .

Nesse exercício, queremos achar um vetor ortogonal ao vetor aceleração a → t .

Mas como que a gente faz isso?

Lembra do produto escalar entre dois vetores?

a → ∙ b → = a b . c o s θ

O que acontece se esses vetores a → e b → forem ortogonais?

Bom, o ângulo entre eles θ será igual a 90 ° , logo temos que o cosseno desse ângulo é zero, ou seja:

a → ∙ b → = a b . c o s 90 ° = 0

Sempre que dois vetores forem ortogonais, o produto escalar entre eles é nulo! Vamos usar isso para encontrar o vetor que queremos.

O outro detalhe é que ainda não conhecemos o vetor aceleração a → t .

Porém, a aceleração é a variação da velocidade v → t , e variação é dada pela derivada:

a → t = d v → t d t

Além disso, a velocidade v → t é a variação da posição r → t , novamente dada pela sua derivada:

v → t = d r → t d t

Então, a aceleração é a variação da variação da posição r → t , logo é a segunda derivada:

a → t = d 2 r → t d t 2

Passo 2

O vetor posição é:

  r → = x t i ^ + y t j ^  

Substituindo as expressões para x t e y t , temos:

r → = t c o s ω t   i ^ + c o s ω t   j ^

Passo 3

Agora vamos derivar esse negócio...

Para derivar um vetor, é só a gente derivar cada componente separadamente:

v → t = d r → t d t = t c o s ω t ' i ^ + c o s ω t ' j ^

Derivando a primeira componente (em i ^ ), vamos usar a regra do produto:

t c o s ω t ' = t ' c o s ω t + t c o s ω t '

Não se esquecendo da regra da cadeia para derivar o “ c o s ω t ”:

t c o s ω t ' = 1 c o s ω t + t - s e n ω t ω

t c o s ω t ' = cos ⁡ ω t - t ω s e n ω t

Já a derivada da segunda componente (em j ^ ), precisamos apenas da regra da cadeia:

c o s ω t ' = - s e n ω t ω

Juntando tudo, temos que o vetor velocidade v → t é:

v → t = cos ⁡ ω t - t ω s e n ω t i ^ + - ω s e n ω t j ^

Passo 4

Para achar o vetor aceleração a → t , vamos derivar o vetor velocidade v → t :

a → t = d v → t d t = cos ⁡ ω t - t ω s e n ω t ' i ^ + - ω s e n ω t ' j ^

Começando com a componente em i ^ :

cos ⁡ ω t - t ω s e n ω t ' = - s e n ω t ω - ω t ' s e n ω t + t s e n ω t '

cos ⁡ ω t - t ω s e n ω t ' = - s e n ω t ω - ω 1 s e n ω t + t cos ⁡ ω t ω

Arrumando a casa:

cos ⁡ ω t - t ω s e n ω t ' = - 2 ω s e n ω t - ω 2 t c o s ω t

Agora a componente em j ^ :

- ω s e n ω t ' = - ω s e n ω t '

- ω s e n ω t ' = - ω cos ⁡ ω t ω

- ω s e n ω t ' = - ω 2 cos ⁡ ω t

Assim, achamos o vetor aceleração:

a → t = - 2 ω s e n ω t - ω 2 t c o s ω t i ^ - ω 2 cos ⁡ ω t j ^

Passo 5

Agora qual é a jogada, se queremos achar um vetor que faça um produto escalar nulo com a → t , podemos simplesmente inverter as componentes i ^ e j ^ e trocar o sinal de uma delas.

Ué, mas por que?

Imagina um vetor u → :

u → = a i ^ + b j ^

Repara que se trocarmos as duas componentes de lugar e invertermos o sinal de uma delas, temos o vetor v → :

v → = - b i ^ + a j ^

E esse vetor v → vai resultar em um produto escalar nulo com o vetor u → :

u → ∙ v → = a × - b + b × a

u → ∙ v → = - a b + a b

u → ∙ v → = 0

Ou seja, esses vetores são ortogonais.

Vamos usar a mesma estratégia para achar um vetor ortogonal ao vetor a → t . Invertendo as componentes de lugar e trocando o sinal da que ficou em j ^ , temos exatamente a resposta da letra (a):

- ω 2 c o s ω t i ^ + ω 2 c o s ω t + 2 ω s e n ω t j ^

Assim, achamos o vetor ortogonal à a → t .

Resposta

Letra (a)

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