Exercícios Resolvidos de Vetor Velocidade e Aceleração Instantânea

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Enunciado

A posição de uma partícula em metros é descrita pelo vetor posição r → t = 2 + 3 t ı ^ + 4 t - t 3 3 j ^ .

Considere as afirmativas abaixo:

( I ) A partícula passa pela origem do sistema de coordenadas.

( I I ) A tangente do ângulo entre o vetor velocidade e o eixo x em t = 0   s é 4 / 3 .

( I I I ) O movimento da partícula não é acelerado.

Marque a alternativa que contém apenas afirmativa(s) verdadeira(s).

(a) I

(b) I I

(c) I I I

(d) I e I I

(e) I e I I I

(f) I I e I I I

(g) Todas

(h) Nenhuma

Passo 1

Temos uma expressão para a posição da partícula em função do tempo. O único detalhe é que essa posição está sendo dada na forma de um vetor em x e y .

Vamos analisar cada afirmativa.

Passo 2

( I ) A partícula passa pela origem do sistema de coordenadas.

Para que a partícula passe pela origem, basta que em algum instante de tempo a sua posição seja 0,0 .

Então, vamos checar se isso acontece tanto em x quanto em y num mesmo instante.

Primeiro, vamos ver em quais instantes a partícula tem sua coordenada x igual a zero:

x t = 0

2 + 3 t = 0

t = - 2 3   s

Opaaa... achamos que a coordenada x zera apenas em um instante de tempo negativo.

Como o tempo começa em t = 0   s , esse instante não existe.

A afirmativa ( I ) está incorreta.

Passo 3

( I I ) A tangente do ângulo entre o vetor velocidade e o eixo x em t = 0   s é 4 / 3 .

Vamos por partes.

Quem é o vetor velocidade?

Bom, a velocidade é a variação da posição, ou seja, sua derivada:

v → t = d r → t d t

v → t = 2 + 3 t ' ı ^ + 4 t - t 3 3 ' j ^

v → t = 0 + 3 ı ^ + 4 - t 2 ' j ^

v → t = 3 ı ^ + 4 - t 2 j ^

Agora, vamos descobrir o vetor velocidade no instante t = 0   s :

v → 0 = 3 i ^ + 4 j ^

Agora, vamos calcular a tangente do ângulo que o vetor faz com a horizontal:

Para isso, basta usar as componentes em y e em x :

t g θ = 4 3

A afirmativa ( I I ) está correta.

Passo 4

( I I I ) O movimento da partícula não é acelerado.

Olhando para o vetor velocidade:

v → t = 3 ı ^ + 4 - t 2 j ^

Podemos ver que ele varia, pois o termo da componente em j ^ tem um t 2 que vai alterar conforme o tempo.

Mas se quisermos ver explicitamente o vetor aceleração, basta derivar novamente:

a → t = 3 ' ı ^ + 4 - t 2 ' j ^

a → t = 0 i ^ + 0 - 2 t j ^

a → t = - 2 t   j ^

Então, podemos ver que para todo instante de tempo após t = 0   s , há um vetor aceleração diferente de zero.

Assim, temos um movimento acelerado.

A afirmativa ( I I I ) está incorreta.

Temos apenas I I como correta, então, ficamos com a letra (b).

Resposta

Letra (b)

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