Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R³

Origem do Exercício

Calcular ∫ C F →   d r → em que r é a hélice definida por r t = sen ⁡ t , cos ⁡ t , t , t ∈ [ 0,2 π ] e F → o campo vetorial definido por F → x , y , z = ( x , y , z ) .

(a) 3 π 2

(b) 2 π 2

(c) 2 π 3

(d) π 2

(e) 2 π

Passo 1

Ok, temos uma questão clássica de integral de linha. Só recapitulando: a ideia aqui é integrar aquele campo vetorial ao longo do caminho r :

∫ C   F →   d r →

Beleza, vamos escrever essa integral de forma que a gente possa resolvê-la. Já que nós vamos calcular o campo F → só em pontos que estão na hélice r , a gente pode escrever o F desse jeito aqui:

  F → r t = ( sin ⁡ t , cos ⁡ t , t )

Já que   F → = ( x , y , z ) . Agora a integral fica assim:

∫ C   F → r t d r →

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Mas agora o campo vetorial ficou em função de t , então vamos dividir e multiplicar a integral por d t :

∫ C   F → r t d r → d t d t

E podemos calcular esse d r → / d t   :

d r → d t = d d t sen ⁡ t , d d t cos ⁡ t , d d t t = cos ⁡ t , - sen ⁡ ( t ) , 1

E como o enunciado diz que t varia de 0 a 2 π :

∫ 0 2 π F → r t d r → d t d t

Passo 3

Substituindo as expressões que nós encontramos:

∫ 0 2 π ( sen ⁡ t , cos ⁡ t , t ) . cos ⁡ t , - sen ⁡ ( t ) , 1   d t

Beleza, isso é um produto escalar entre dois vetores, de forma que a integral vai ficar assim:

∫ 0 2 π ( sen ⁡ t cos ⁡ t - sen ⁡ t cos ⁡ t + t ) d t

∫ 0 2 π ( t ) d t = 2 π 2 2 - 0 2 2 = 2 π 2

Pronto, esse é o valor da integral que foi pedida!

Resposta

Letra (b)

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