Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R³

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Enunciado

Calcule ∫ C P d x + Q d y + R d z , onde

b )   F → = ( P , Q , R ) = ( - 2 y , z , x ) e C é a interseção de 4 x 2 + y 2 = 1 e y 2 + z 2 = 1 , com x ≥ 0 e z ≥ 0 , percorrida do ponto ( 0 , - 1,0 ) ao ponto ( 0,1 , 0 ) .

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Nós temos que resolver a seguinte integral de linha

∫ C P d x + Q d y + R d z

em que o campo vetorial dado é tal que

F → = ( P , Q , R ) = ( - 2 y , z , x )

e a curva C é a interseção das superfícies

4 x 2 + y 2 = 1 e y 2 + z 2 = 1

com x ≥ 0 e z ≥ 0 , percorrendo um sentido tal que saí do ponto ( 0 , - 1,0 ) e vai até ( 0,1 , 0 ) . Integrais de linha podem ser resolvidas pela seguinte definição

∫ C F → ⋅ d r → = ∫ a b F → [ r ( t ) ] ⋅ r → ' ( t ) d t

em que r → ( t ) é uma parametrização da curva. Para visualizarmos quem será a nossa parametrização, vamos realizar a interseção! Ou, se for interessante, podemos usar a seguinte identificação

∫ C ' F → ⋅ d r → = ∫ ∫ S r o t ( F → ) ⋅ n →   d S

em que n → é o vetor normal da superfície orientada S tal que C ' é fronteira. Vamos ver o que vale a pena fazer! Vem comigo!

Passo 2

O nosso campo vetorial é tal que

F → = ( - 2 y , z , x )

usando a seguinte expressão para calcular o rotacional

r o t ( F → ) = ( ∂ F z ∂ y - ∂ F y ∂ z , ∂ F x ∂ z - ∂ F z ∂ x , ∂ F y ∂ x - ∂ F x ∂ y )

calculando as derivadas parciais obtemos

r o t ( F → ) = ( 0 - 1,0 - 1,0 - ( - 2 ) ) = ( - 1 , - 1,2 )

os componentes são apenas constantes, então isso pode facilitar muito nossa vida! Vamos tentar visualizar a curva C e a superfície orientada! Saca só!

Passo 3

Temos que a interseção de ambas as superfícies resulta em

Note que nas condições dadas, temos que a curva C é a indicada em verde que parte de ( 0 , - 1,0 ) e chega em ( 0,1 , 0 ) . Mas, a fronteira de nossa superfície ainda requer a curva C ' que anda sobre o eixo y de ( 0,1 , 0 ) até ( 0 , - 1,0 ) . De forma, que nossa integral de linha se torna

∫ C F → ⋅ d r → = ∫ ∫ S   ( - 1 , - 1,2 ) ⋅ n →   d S - ∫ C ' F → ⋅ d r →

note que é preciso retirar a contribuição do pedaço da curva que não nos interessa! Vamos tentar achar mais informações sobre a nossa superfície, de maneira que possamos identificar o vetor normal!

Passo 4

Fazendo a interseção das superfícies, temos que

y 2 = 1 - 4 x 2

e, portanto, temos que

1 - 4 x 2 + z 2 = 1

que é simplesmente

4 x 2 = z 2

que indica que z = ± 2 x , que é um plano. Você pode visualizar se rotacionar o gráfico colocando o eixo y saindo da tela, da seguinte maneira

Note então que o vetor normal n → é dado pela equação do plano como

n → = ( - 2,0 , 1 )

Vamos substituir isso em nossa integral de superfície!

Passo 5

Calculando o produto escalar

r o t ( F → ) ⋅ n → = ( - 1 , - 1,2 ) ⋅ ( - 2,0 , 1 ) = 2 - 0 + 2

temos que a integral de superfície se torna

∫ ∫ r o t ( F → ) ⋅ n →   d S = 4 ∫ ∫ d S

que é a área de nossa superfície! Vamos tentar visualizar essa região! Se fizermos a interseção do plano z = 2 x com o cilindro y 2 + z 2 = 1 , obtemos a equação da elipse novamente

4 x 2 + z 2 = 1

que tem como área simplesmente A = a b π = 1 2 ( 1 ) π . Portanto, a integral de superfície é dada por

4 ∫ ∫ d S = 4 π / 4 = π

Note que usei a área π / 4 , pois temos apenas metade da elipse em x ≥ 0 . Agora, precisamos calcular a integral de linha da curva C ' para complementar esse resultado! Saca só!

Passo 6

Precisamos de uma parametrização para a curva C ' , ela é uma curva que anda sobre o eixo y de ( 0,1 , 0 ) até ( 0 , - 1,0 ) , portanto, ela pode ser parametrizada usando o vetor

v → = ( 0 - 0 , - 1 - 1,0 - 0 ) = ( 0 , - 2,0 )

E, escolhendo qualquer um dos pontos, temos a parametrização como

r → ( t ) = ( 0 ,   1 - 2 t , 0 )

A definição de integral de linha é tal que

∫ C ' F → ⋅ d r → = ∫ a b F → ( r ( t ) ) ⋅ r → ' ( t )   d t

a derivada de nossa parametrização é simplesmente

r → ' ( t ) = ( 0 , - 2,0 )

O campo vetorial aplicado à minha parametrização é dado por

F → = ( - 2 + 4 t , 0,0 )

Portanto, essa integral é simplesmente dada por

∫ C ' F → ⋅ d r → = ∫ 0 1 F → ( r ( t ) ) ⋅ ( r → ' ( t ) ) d t = 0

pois o produto escalar é zero. O nosso resultado final é então simplesmente dado por

∫ C F → ⋅ d r → = π

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ C F → ⋅ d r → = π

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