Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R³

Integrais de linha – caso vetorial

Calcular a integral de linha ∫ C   F . d r onde F = y z , x z , x y + 2 z e C é o segmento de reta que liga o ponto ( 1,0 , 1 ) ao ponto ( - 2,2 , 2 ) .

Passo 1

Bom, vamos começar parametrizando essa curva C , o segmento de reta. Vamos usar aquela técnica “ v e t o r × t + p o n t o ”.

Primeiro, achamos um vetor paralelo ao segmento, fazendo “ponto final menos o ponto inicial”:

v t = - 2,2 , 2 - 1,0 , 1 = - 3 , 2,1

Nossa parametrização vai ser dada por esse vetor vezes o parâmetro t somado ao ponto inicial do segmento:

r t = - 3 , 2,1 t + 1,0 , 1 = 1 - 3 t , 2 t , t + 1

Onde 0 ≤ t ≤ 1 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora calculamos r → ' t :

r → ' t = d ( 1 - 3 t ) d t ,   d ( 2 t ) d t ,   d t + 1 d t = ( - 3,2 , 1 )

Passo 3

Vamos, então, usar a fórmula

∫ C   F x , y , z ⋅ d r = ∫ a b F x t ,   y t ,   z ( t ) ⋅ r → ' t d t

O campo é dado por

F = y z , x z , x y + 2 z

Aplicando a parametrização, temos

F x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) = ( 2 t ( t + 1 ) , 1 - 3 t t + 1 , 2 t 1 - 3 t + 2 ( t + 1 ) )

= ( 2 t 2 + 2 t , t + 1 - 3 t 2 - 3 t , 2 t - 6 t 2 + 2 t + 2 ) =

= ( 2 t 2 + 2 t , 1 - 3 t 2 - 2 t , - 6 t 2 + 4 t + 2 ) =

Substituindo então na integral, temos

∫ C   F x , y , z ⋅ d r = ∫ 0 1 2 t 2 + 2 t , 1 - 3 t 2 - 2 t , - 6 t 2 + 4 t + 2 . ( - 3,2 , 1 ) d t

= ∫ 0 1 - 6 t 2 - 6 t + 2 - 6 t 2 - 4 t - 6 t 2 + 4 t + 2 d t =

= ∫ 0 1 - 18 t 2 - 6 t + 4 d t =

Passo 4

Finalmente, calculamos a integral

= - 6 t 3 - 3 t 2 + 4 t 0 1 =

= - 6 - 3 + 4 = - 5

Resposta

- 5

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