Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R³

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Enunciado

(Capítulo 16.3 – Exercício 15)

(a) Determine uma função f tal que F → = ∇ f e (b)Use a parte (a) para calcular ∫ C F → ⋅ d r → sobre a curva C dada.

F → x , y , z = y z i → + x z j → + x y + 2 z k → , C é o segmento de reta de 1,0 , - 2   a   4,6 , 3

Passo 1

Oi galera, tudo bem?

Gente, se o campo vetorial for conservativo podemos encontrar uma função escalar f .

E o por que encontrar essa função escalar? Porque o campo conservativo é aquele que é gradiente de uma função potencial f .

Então para resolvermos esse exercício, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função de acordo com a definição para um campo vetorial de conservação.

Passo 2

Bom, para determinar a função potencial associada ao campo conservativo vamos supor que o campo F → é:

F → = F x i → + F y j → + F z k →

Vamos primeiro pegar uma das derivadas parciais, por exemplo ∂ F x ∂ x e integrar em relação à x :

∫ ∂ F x ∂ x = ∫ y z d x

Isso vai nos dar a função potencial f mais uma constante só de y , z , digamos g y , z (pois derivando em relação à x ela desaparece, sacou?):

f = x y z + g y , z

Pronto! Essa é a função potencial!

Tá, mas e aquela função de y , z ali? Calma, no próximo passo vamos determinar ela!

Passo 3

Legal! O próximo passo é derivar a função potencial determinada em relação à y :

∂ f ∂ y = x z + g y y , z

Tá, mas e agora? Agora olha o pulo do gato! Vamos resgatar do passo 2 a componente y do campo dado:

F y = x z

E agora vamos igualar os dois lados!

x z = x z + g y y , z

Beleza! Agora integrando em relação à y determinamos a função g y , z :

g y y , z = 0

∫ g y y , z d y = 0

g y , z = h z

E a função potencial é:

f x , y , z = x y z + h z

Mas agora surgiu mais uma função! Sim, pois ao derivar a função potencial em relação à y surge uma constante em z . Mas calma! O procedimento é o mesmo! Derivar essa última expressão em relação à z , igualar à F z e depois integrar em relação à z ! Vamos lá?

Passo 4

Show! Vamos derivar a função potencial em relação a z : ∂ f ∂ z = x y + g z y , z

Beleza! E agora comparando com a componente F z do passo 2 temos:

F z = x y + 2 z = x y + g z y , z

Agora vamos integrar em z :

∫ h ' z d z = ∫ 2 z d z

h z = z 2 + C

Agora sim aqui C é uma constante mesmo =)

E a função f x , y , z é :

f x , y , z = x y z + z 2

Passo 5

Show! Agora temos que o ponto final é 4,6 , 3 e a função potencial nesse ponto é:

f 4,6 , 3 = 4.6 . 3 + 3 2 + C = 81 + C

E no ponto inicial, que é 1,0 , - 2 a função f vale:

f 1,0 , - 2 = 1.0 . - 2 + - 2 2 + C = 4 + C

Beleza! Agora sabemos que para um campo conservativo:

∫ C F → ⋅ d r → = f f i n a l - f i n i c i a l = 81 + C - 4 + C = 77

É isso! O valor de ∫ C F → ⋅ d r → é 77 !

Tudo certinho? Responde aí

Bora fazer mais questões!

Bons Estudos!

Resposta

a f x , y , z = x y z + z 2

b ∫ C F → ⋅ d r → = 77

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:24. ∫ C y d x + z d y - x y d z , onde C é dada por y = s e nx ; z = 4 ; x ∈ [ 0,2 π ] .
Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:22. ∫ C d x + d y + d z , onde C é a intersecção das superfícies y + z = 5 e z = 4 - x 2 do ponto A ( 2 ,5 ,0 ) ao ponto B ( - 2 ,5 ,0 )
Calcule ∫ γ d x + x y d y + zd z , onde γ é a interseção de x 2 + y 2 + z 2 = 2 ,x ≥ 0 ,y ≥ 0 e z ≥ 0 , com o plano y = x ; o sentido do percurso é do ponto 0,0 , 2 para 1,1 , 0 .
Calcule a integral de linha ∫ C F.d r , onde C é dada pela função vetorial r t . F x ,y = x + yi + y - z j + z 2k, r t = t 2i + t 3j + t 2k,0 ≤ t ≤ 1
Determine uma função f tal que F → = ∇ f e Use a parte (a) para calcular ∫ C F → ⋅ d r → sobre a curva C dada. F → x , y = y 2 cos ⁡ z i → + 2 x y c o szj → - x y 2 s e nz k → ,C : r → t = t 2 i →s e