Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R³

Integrais de linha – caso vetorial

Calcule ∫ γ   e z d x + x z d y + z y d z sendo γ a curva dada pela interseção das superfícies x 2 - y 2 + z 2 = 1 e y + x = 2 , percorrida de 1,1 , - 1 a 1,1 , 1 .

Passo 1

Bom, antes de tudo precisamos parametrizar essa curva γ né? Sabemos que ela é dada pela interseção entre as superfícies:

x 2 - y 2 + z 2 = 1

y + x = 2

A primeira se trata de um hiperboloide de uma folha com simetria no eixo y , enquanto a segunda é um plano. Temos algo assim:

A curva γ é então a interseção dessas duas superfícies. Vamos substituir uma equação na outra então:

y = 2 - x

x 2 - ( 2 - x ) 2 + z 2 = 1

x 2 - 4 + 4 x - x 2 + z 2 = 1

x = 5 - z 2 4

Vamos então usar z como parâmetro, ok? Temos:

x = 5 - z 2 4

y = 2 - x = 2 - 5 - z 2 4 = 3 + z 2 4

z = z

Isso nos dá a seguinte parametrização:

σ → ( z ) = 5 - z 2 4 , 3 + z 2 4 , z

Como o enunciado diz que a curva é percorrida de 1,1 , - 1 a 1,1 , 1 , temos - 1 ≤ z ≤ 1 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos, agora, calcular σ → ' : σ → ' = d 5 - z 2 4 d z , d 3 + z 2 4 d z , d z d z = - z 2 , z 2 , 1

Passo 3

Podemos, então, substituir σ → ' na fórmula abaixo, escrevendo o campo em função da nossa parametrização:

∫ γ   F x , y , z d s = ∫ a b F x z ,   y z , z z ⋅   σ → ' d z

O campo

F x , z , y = e z , x z , z y

Fica

F x z ,   y z , z z = e z , 5 z - z 3 4 , 3 z + z 3 4

Isso nos dá

= ∫ - 1 1 e z , 5 z - z 3 4 , 3 z + z 3 4 - z 2 , z 2 , 1 d z =

Repare que o intervalo da integral é aquele que encontramos para x na parametrização!

Passo 4

Agora falta resolver a integral né?

= ∫ - 1 1 - z e z 2 + 5 z 2 - z 4 8 + 3 z + z 3 4 d z =

= - ∫ - 1 1 z e z 2 d z + ∫ - 1 1 5 z 2 8 - z 4 8 + 3 z 4 + z 3 4 d z =

Vamos resolver primeiro a segunda integral

= - ∫ - 1 1 z e z 2 d z + 5 z 3 24 - z 5 40 + 3 z 2 8 + z 4 16 - 1 1 =

= - ∫ - 1 1 z e z 2 d z + 5 24 - 1 40 + 3 8 + 1 16 - - 5 24 + 1 40 + 3 8 + 1 16 =

= - 1 2 ∫ - 1 1 z e z d z + 5 12 - 1 20 =

Agora precisamos fazer essa integração por partes, temos:

u = z           →         u ' = 1

v ' = e z           →         v = e z

Aplicando a fórmula

∫ u v ' = u v - ∫ u ' v

Temos

= - 1 2 z e z - 1 1 - ∫ - 1 1 e z d z + 11 30 =

= - 1 2 e + 1 e - e z - 1 1 + 11 30 =

= - 1 2 e + 1 e - e + 1 e + 11 30 =

= 11 30 - 1 e

Resposta

11 30 - 1 e

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