Enunciado

O campo F = x y i + y j - y z k é o campo de velocidades de um escoamento no espaço. Encontre o escoamento de ( 0,0 , 0 ) até 1,1 , 1 ao longo da curva de interseção do cilindro y = x 2 e do plano z = x . (Sugestão: use x = t como parâmetro.)

Passo 1

Na teoria a gente viu que escoamento nada mais é que a integral de linha:

∫ C F → . d r =   ∫ a b F x t ,   y t , z t . σ → ' t   d t

O campo foi dado no enunciado F → = ( x y , y , - y z ) , só fica faltando a parametrização da curva C .

Então vamos começar por isso, né?

Passo 2

O exercício da uma dica boa de usar x = t , então vamos usá-la. E isso dá que y = t 2 , certo?

Então, pelo cilindro, encontramos que a projeção no plano x y pode ser parametrizada por:

t , t 2

Mas aqui estamos no R 3 , então vamos usar a outra superfície para encontrar a parametrização da nossa curva C no espaço.

E o que temos é algo simples, o plano z = x , que nos dá z = t também.

Assim temos que nossa curva C tem parametrização:

σ → = ( t , t 2 , t )

Que vai de 0,0 , 0 a ( 1,1 , 1 ) , então 0 ≤ t ≤ 1 , concorda?

Passo 3

Da parametrização podemos tirar o vetor tangente:

σ → = d x d t , d y d t , d z d t = ( 1,2 t , 1 )

E agora já temos tudo que precisamos pra calcular a integral, é so jogar na fórmula!

Passo 4

Então, vamos ter que: ∫ a b F x t ,   y t , z t ∙ σ → ' t   d t = ∫ 0 1 ( t ∙ t 2 , t 2 , - t 2 ∙ t ) ∙ ( 1,2 t , 1 ) d t

= ∫ 0 1 t 3 + 2 t 3 - t 3 d t = ∫ 0 1 2 t 3 d t = 2 t 4 4 │ 0 1 = 1 2

Resposta

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