Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R³

UFF - Cálculo IIIA - Lista 4 - 5a

Calcule

∫ C P d x + Q d y + R d z

Onde F → = y , z , x e C é a interseção das superfícies x + y = 2 e x 2 + y 2 + z 2 = 2 x + y , percorrida no senti anti-horário quando vista da origem.

Passo 1

Vamos usar a fórmula que vimos na teoria pra integrais de linha vetoriais:

∫ C F ∙ d r = ∫ a b F x t , y t , z t ∙ σ → ' t   d t

O campo foi dado no enunciado, então só falta parametrizarmos a cruva e encontrarmos o vetor tangente. Vamos ver como que fica!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Precisamos conseguir parametrizar a curva C , primeiro vamos achar a interseção entre as duas superfícies, fazendo

y = 2 - x

Substituindo na equação da esfera

x 2 + 2 - x 2 + z 2 = 2 x + 2 - x

x 2 + 4 - 4 x + x 2 + z 2 = 2 2

2 x 2 - 4 x + z 2 = 0

Vamos completar quadrados agora

2 x 2 - 4 x + 2 + z 2 = 2

2 x 2 - 2 x + 1 + z 2 = 2

2 x - 1 2 + z 2 = 2

x - 1 2 1 + z 2 2 = 1

Isso é uma elipse, vamos parametrizar essa elipse, vamos ter

x = 1 + 1 cos ⁡ θ

z = 2 sen ⁡ θ

Com θ ∈ 0,2 π

Falta a componente y , mas temos uma relação entre y e x

x + y = 2

Então

y = 2 - 1 + cos ⁡ θ

y = 1 - cos ⁡ θ

Vamos ter

C : σ θ = 1 + cos ⁡ θ , 1 - cos ⁡ θ , 2 sen ⁡ θ

Com θ ∈ 0,2 π

Passo 3

Agora calculamos σ ' θ

σ ' t = ∂ ∂ θ 1 + cos ⁡ θ , ∂ ∂ θ 1 - cos ⁡ θ , ∂ ∂ θ 2 sen ⁡ θ = - sen ⁡ θ , sen ⁡ θ , 2 cos ⁡ θ

Passo 4

Mas uma coisa que temos que ficar atentos na integral de linha é o sentido do cara. Ele disse que o sentido é anti-horário quando visto da origem, isso quer dizer que, para o nosso sentido “normal”, ele roda ao contrário do visto pela origem, ou seja, neste caso vai ser no sentido horário.

Mas a nossa parametrização foi feita para a curva percorrendo o sentido anti-horário, com orientaçao positiva. Para corrigir isso, ao invés de integrarmos sobre C , vamos integrar sobre C - , de forma que:

∫ C - F ∙ d r = - ∫ C F ∙ d r

Agora é só jofgar tudo na integral e calcular!

Passo 5

Vamos, então, substituir σ θ e σ ' θ na integral.

- ∫ 0 2 π 1 - cos ⁡ θ , 2 sen ⁡ θ , 1 + cos ⁡ θ ∙ - sen ⁡ θ , sen ⁡ θ , 2 cos ⁡ θ d θ

= - ∫ 0 2 π - sen ⁡ θ + sen ⁡ θ cos ⁡ θ + 2 sen 2 ⁡ θ + 2 cos ⁡ θ + 2 cos 2 ⁡ θ d θ

= - ∫ 0 2 π - sen ⁡ θ + sen ⁡ θ cos ⁡ θ + 2 cos ⁡ θ + 2 sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ d θ

= - ∫ 0 2 π - sen ⁡ θ + sen ⁡ θ cos ⁡ θ + 2 cos ⁡ θ + 2 d θ

Lembrando que

sen ⁡ θ cos ⁡ θ = sen ⁡ 2 θ 2

A integral vai ficar

= - ∫ 0 2 π - sen ⁡ θ + sen ⁡ 2 θ 2 + 2 cos ⁡ θ + 2 d θ

= - cos ⁡ θ - cos ⁡ 2 θ 4 + 2 sen ⁡ θ + 2 θ θ = 0 2 π

= - cos ⁡ 2 π - cos ⁡ 2 ∙ 2 π 4 + 2 sen ⁡ 2 π + 2 ∙ 2 π - cos ⁡ 0 - cos ⁡ 2 ∙ 0 4 + 2 sen ⁡ 0 + 2 ∙ 0

= - 1 - cos ⁡ 4 π 4 + 0 + 2 ∙ 2 π - 1 - cos ⁡ 0 4 + 0 + 0

= - 1 - 1 4 + 2 2 π - 1 - 1 4 +

= - 2 2 π

Resposta

- 2 2 π

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