- Calcule o trabalho realizado pela força para deslocar uma partícula ao longo da curva interseção das superfícies e , orientada do ponto a .
Passo 1
Para acharmos o trabalho de devemos fazer a integral de linha de ao longo da curva que é a interseçãodas superfícies (já já vamos ver melhor quem é ):
Encontrar uma solução para uma integral de linha nada mais é do que seguir um passo a passo maroto:
- Parametrizar a curva que estamos trabalhando.
- Substituir os termos do campo vetorial pelos termos da parametrização.
- Encontrar o termo .
Então vem comigo nessa aventura! :D
Passo 2
Vamos então parametrizar a curva , mas por falar nisso, quem é a curva ?
Como nos pediu o exercício, a curva é dado pela interseção do cilindro parabólico
com esse plano paralelo ao eixo , , bonitinho aqui:
Sacou? :D
Passo 3
Pow! Resolver uma interseção em Matemática é resolver o sistema com as equações das superfícies envolvidas:
Isolando na primeira...
e substituindo na segunda:
Essa equação nos representa essa parábola ao redor de aqui oh:
Passo 4
Bem! Se estamos trabalhando com uma equação explícita podemos pensar em uma parametrização também explícita, onde se chamarmos...
enquanto ...
Logo, a parametrização arrumada bonitinha é:
Já sabemos que não saímos de uma parametrização sem antes determinar ondo o parâmetro, no caso o , está variando, e pow, sabemos que é e pelo próprio problema estamos saindo do ponto onde e indo até , , logo:
Passo 5
Precisamos agora encontrar o campo em em termos dos parâmetro:
Basta trocar tudo que é por , por e vira...
Passo 6
Para encontrar o termo , basta sabermos que facilmente o encontramos fazendo:
Como no caso a parametrização foi , derivando cada termo do vetor em relação a ...
Logo...
Passo 7
Voltando para a integral de linha que estamos trabalhando
e substituir todos os dados que obtivemos...
Não se esqueça de realizar esse produto escalar de vetores aí, heim!
Resposta
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