Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R³

Calcule

∫ γ y d x + z d y + x d z

Sendo γ a curva de interseção das superfícies 4 y 2 + z 2 = 4 e x + y + z = 1 percorrida de modo que sua projeção no plano y z seja percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

Integral de linha para o caso vetorial essa né? Vamos então ter que parametrizar nossa curva γ e substituir tudo em relação a t na nossa integral original. Vamos lá?

Olhando para o cilindro 4 y 2 + z 2 = 4 podemos escolher a melhor parametrização para γ da seguinte forma:

y 2 + z 2 4 = 1

y 2 = cos 2 ⁡ t → y = cos ⁡ t

z 2 4 = sen 2 ⁡ t → z = 2 sen ⁡ t

Obs: Lembre-se que estamos buscando uma parametrização! Não podemos encontrar duas variáveis no final, por isso que nesse caso aqui não usamos aquele cara r cos ⁡ θ que usávamos em integrais múltiplas! Fique atento a isso.

Voltando para a questão, para achar a parametrização de x vamos usar a outra equação que temos:

x + y + z = 1

x = 1 - y - z

x = 1 - cos ⁡ t - 2 sen ⁡ t

σ t = 1 - cos ⁡ t - 2 sen ⁡ t , cos ⁡ t , 2 sen ⁡ t

Onde 0 ≤ t ≤ 2 π

Derivando em relação a t ficamos com:

σ ' t = sen ⁡ t - 2 cos ⁡ t , - sen ⁡ t , 2 cos ⁡ t

Então, em outras palavras, isso nos diz que:

d x = sen ⁡ t - 2 cos ⁡ t

d y = - sen ⁡ t

d z = 2 cos ⁡ t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Voltando agora para a nossa integral e substituindo temos que:

∫ 0 2 π cos ⁡ t sen ⁡ t - 2 cos ⁡ t + 2 sen ⁡ t - sen ⁡ t + 1 - cos ⁡ t - 2 sen ⁡ t 2 cos ⁡ t d t

= ∫ 0 2 π sen ⁡ t cos ⁡ t - 2 cos 2 ⁡ t - 2 sen 2 ⁡ t + 2 cos ⁡ t - 2 cos 2 ⁡ t - 4 sen ⁡ t cos ⁡ t d t

Perceba que

- 2 cos 2 ⁡ t - 2 sen 2 ⁡ t = - 2 cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t

= - 2

Portanto:

= ∫ 0 2 π - 3 sen ⁡ t cos ⁡ t + 2 cos ⁡ t - 2 - 2 cos 2 ⁡ t d t

Passo 3

Vamos então integrar cada um desses termos separadamente, com calma:

∫ 0 2 π - 3 sen ⁡ t cos ⁡ t d t

Se fizermos a seguinte substituição:

cos ⁡ t = u

- sen ⁡ t d t = d u

Com isso, nossa integral vai ficar

= ∫ t = 0 t = 2 π 3 u d u

= 3 u 2 2 t = 0 t = 2 π = 3 cos 2 ⁡ t 2 0 2 π = 3 2 1 - 1 = 0

Passo 4

O próximo termo é o seguinte:

∫ 0 2 π 2 cos ⁡ t d t

= 2 sen ⁡ t t = 0 t = 2 π = 2 0 - 0 = 0

Passo 5

Em seguida temos:

∫ 0 2 π - 2 d t

= - 2.2 π = - 4 π

Passo 6

Finalmente, a última parte da nossa integral:

∫ 0 2 π - 2 cos 2 ⁡ t d t

Vamos lembra da relação que diz que

cos 2 ⁡ t = 1 + cos ⁡ 2 t 2

- 2 ∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ 2 t 2 d t

= - t + sen ⁡ 2 t 2 t = 0 t = 2 π = - 2 π

Passo 7

Juntando tudo ficamos com:

0 + 0 - 4 π - 2 π = - 6 π

Resposta

- 6 π

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