Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R³

UFPE, Cálculo 3, 1°EE, 2013.1, questão 2

A curva dada por:

C = x , y , z ∈ R 3 ; z = x 2 + y 2 ; z = 4 y

Representa o formato de um arame.

  1. Encontre uma parametrização para C
  2. Escreva duas integrais definidas no parâmetro que expressem respectivamente:

- a carga do arame, se a densidade é dada por ρ r → = x y - 2

- o trabalho que realiza o campo F → r → = x y - 2 j → ao longo do arame

Passo 1

  1. Temos as equações:
  2. z = x 2 + y 2

    z = 4 y

    Utilizando a segunda na primeira:

    4 y = x 2 + y 2

    Ajeitando:

    x 2 + y 2 - 4 y = 0

    Completando os quadrados:

    x 2 + y - 2 2 = 4

    x 2 4 + y - 2 2 4 = 1

    Passo 2

    Agora, temos de parametrizar a equação:

    x 2 4 + y - 2 2 4 = 1

    É uma circunferência, então:

    x = 2 c o s θ

    y = 2 s e n θ + 2

    0 ≤ θ ≤ 2 π

    Porém, z = 4 y

    Logo, temos:

    x = 2 c o s θ

    y = 2 s e n θ + 2

    z = 8 s e n θ + 8

    0 ≤ θ ≤ 2 π

    Passo 3

  3. Como ρ r → = x y - 2 éa densidade, podemos calcular a carga pela integral:

∫ C ρ r → d s = ∫ C x y - 2 d s

Substituindo, vamos ter:

∫ C x y - 2 d s = ∫ 0 2 π 4 c o s θ s e n θ r ' ( θ ) d θ

Calculando:

r ' ( θ ) = - 2 s e n θ 2 + 2 c o s θ 2 + 8 c o s θ 2 = 2 1 + 16 cos 2 ⁡ θ

Logo, a integral fica:

∫ C ρ r → d s = ∫ 0 2 π 8 c o s θ s e n θ 1 + 16 cos 2 ⁡ θ d θ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O trabalho do campo é dado por:

∫ C F → r → d r → = ∫ C 0 d x + x y - 2 d y + 0 d z

Lembrando que d y = 2 c o s θ d θ , substituindo:

∫ C F → r → d r → = ∫ 0 2 π 8 c o s θ s e n θ c o s θ d θ

Resposta

  1. x = 2 c o s θ ,   y = 2 s e n θ + 2 ,   z = 8 s e n θ + 8 ,   0 ≤ θ ≤ 2 π
  2. Item i) ∫ C ρ r → d s = ∫ 0 2 π 8 c o s θ s e n θ 1 + 16 cos 2 ⁡ θ d θ , Item ii) ∫ C F → r → d r → = ∫ 0 2 π 8 c o s θ s e n θ c o s θ d θ

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