Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R³

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Enunciado

Calcule ∫ γ F → ∙ d r → , nos seguintes casos:

(a) F → = 3 x 2 - 8 y 2 i → + ( 4 y - 6 x y ) j → ; γ é a fronteira da região D : x + y ≤ 2 ,   x ≥ 0 ,   y ≥ 0 , orientada no sentido horário.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral de linha, ∫ γ F → ∙ d r → , da função F → = 3 x 2 - 8 y 2 i → + ( 4 y - 6 x y ) j → ; sobre a região γ , que é a fronteira da região D : x + y ≤ 2 ,   x ≥ 0 ,   y ≥ 0 , orientada no sentido horário.

Pra isso, precisamos lembrar que a integral de linha pode ser definida pela equação:

∫ γ F → ∙ d r → = ∫ a b F x t ,   y t ∙ r → ' ( t ) d t

Onde r → ' ( t ) é a derivada da parametrização da curva γ e F x t ,   y t é a nossa função vetorial aplicada na parametrização x ( t ) , y ( t ) .

Como temos uma reta y = 2 - x , com x e y positivos, podemos parametrizar apenas chamando x t = t , de modo que y t = 2 - t . Assim, vamos ter:

r → t = ( t ,   2 - t )

Com t variando no intervalo [ 0 ,   2 ] .

Vamos lá!

Passo 2

Usando as equações paramétricas do passo 1 , vamos derivar nosso vetor r → ( t ) :

r → ' t = ( 1 ,   - 1 )

Aplicando nossa função F → = 3 x 2 - 8 y 2 i → + ( 4 y - 6 x y ) j → na parametrização, temos:

F x t ,   y t = 3 t 2 - 8 2 - t 2 ,   4 2 - t - 6 t ( 2 - t )

F x t ,   y t = ( - 5 t 2 + 32 t - 32 ,   6 t 2 - 16 t + 8 )

Passo 3

Com as informações do passo anterior, vamos montar nossa integral de acordo com a fórmula:

∫ γ F → ∙ d r → = ∫ a b F x t ,   y t ∙ r → ' ( t ) d t

= ∫ 0 2 ( - 5 t 2 + 32 t - 32 ,   6 t 2 - 16 t + 8 ) ∙ ( 1 ,   - 1 )   d t

Calculando o produto escalar entre os vetores do integrando, temos:

∫ 0 2 - 5 t 2 + 32 t - 32 - 6 t 2 + 16 t - 8   d t

= ∫ 0 2 - 11 t 2 + 48 t - 40   d t

Passo 4

Integrando usando a regrinha da potência ( ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 ), temos:

- 11 t 3 3 + 48 t 2 2 - 40 t 0 2

Aplicando os limites de integração:

- 11 2 3 3 + 48 2 2 2 - 40 ( 2 ) + 11 0 3 3 - 48 0 2 2 + 40 ( 0 )

- 88 3 + 96 - 80

= - 40 3

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

- 40 3

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Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:22. ∫ C d x + d y + d z , onde C é a intersecção das superfícies y + z = 5 e z = 4 - x 2 do ponto A ( 2 ,5 ,0 ) ao ponto B ( - 2 ,5 ,0 )
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