Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R³

Integrais de linha – caso vetorial

Calcule ∫ C   F . d r , onde

F x , y , z = y + z , - z , y

E C é a curva obtida com interseção do cilindro x 2 + y 2 = 2 y com o plano y = z .

Passo 1

Antes de mais nada vamos fazer um esboço pra entender o que está acontecendo. Temos um cilindro deslocado no eixo y e um plano:

A curva C é formada pela interseção das duas superfícies.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos então parametrizar C . Repare que a projeção da curvan no plano x y é a circunferência de mesma equação que o cilindro:

x 2 + y 2 = 2 y

x 2 + y - 1 2 = 1

Portanto, a parametrização da projeção de C no plano x y é dada, em coordenadas polares deslocadas, por:

( cos ⁡ t ,   s e n   t + 1 )

Show? Mas C é uma curva em três dimensões, tá faltando a coordenada z , que é dada pela equação do plano

z = y

Então, uma parametrização de C seria:

C = ( cos ⁡ t ,   s e n   t + 1 , s e n   t + 1 )

Onde 0 ≤ t ≤ 2 π .

Passo 3

Agora vamos derivar isso aí

C ' = - sen ⁡ t , cos ⁡ t , cos ⁡ t

Passo 4

Show, agora levamos tudo para a fórmula:

∫ C 1   F x , y , z ⋅ d r = ∫ a b F x t ,   y t ⋅ r → ' t d t

O campo é dado por

F x , y , z = y + z , - z , y

Aplicando a parametrização, temos

F x t , y t , z ( t ) = 2 sen ⁡ t + 2 , - sen ⁡ t - 1 , sen ⁡ t + 1

Substituindo então na integral, temos

∫ C   F . d r = ∫ 0 2 π 2 sen ⁡ t + 2 , - sen ⁡ t - 1 , sen ⁡ t + 1 . - sen ⁡ t , cos ⁡ t , cos ⁡ t d t

= ∫ 0 2 π - 2 sen 2 ⁡ t - 2 sen ⁡ t - sen ⁡ t cos ⁡ t - cos ⁡ t + sen ⁡ t cos ⁡ t + cos ⁡ t d t =

= ∫ 0 2 π - 2 sen 2 ⁡ t - 2 sen ⁡ t d t =

Passo 5

Agora é só resolver isso aí. Lembrando que

sen 2 ⁡ t = 1 - cos ⁡ 2 t 2

= ∫ 0 2 π - 2 1 - cos ⁡ 2 t 2 - 2 sen ⁡ t d t =

= ∫ 0 2 π - 1 + cos ⁡ 2 t - 2 sen ⁡ t d t =

= - t + sen ⁡ 2 t 2 + 2 cos ⁡ t 0 2 π =

= - 2 π + sen ⁡ 4 π 2 + 2 cos ⁡ 2 π - - 0 + sen ⁡ 0 2 + 2 cos ⁡ 0 =

= - 2 π + 2 - 2

- 2 π

Resposta

- 2 π

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas