Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R³

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Enunciado

9. Uma partícula desloca-se em um campo de forças dado por F → x , y , z = - y , x , z . Ache o trabalho realizado por F → no deslocamento da partícula de γ a até γ b , sendo dados

b) γ t = cos ⁡ t , 0 , sin ⁡ t , a = 0 ; b = 2 π .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema queremos calcular o trabalho da função vetorial F → x , y , z = - y , x , z ao longo do caminho γ t = cos ⁡ t , 0 , sin ⁡ t em que t ∈ 0 , 2 π .

Lembra como podemos fazer isso? 🤔

Para calcular o trabalho de um campo vetorial ao longo de um caminho podemos calcular como uma integral de linha fazendo

W = ∫ a b F → γ t · γ ' t d t

Assim, uma integral vetorial acaba se tornando uma integral escalar... o que certamente facilita muito a nossa vida.

Então o que temos que fazer é aplicar o caminho γ t na função F → , calcular a derivada de γ t e substituir na integral sabendo que t varia entre a e b ...

Parece mais fácil agora? 😉

Passo 2

Se γ t = cos ⁡ t , 0 , sin ⁡ t então F → γ t será dado por

F → x , y , z = - y , x , z → F → γ t = 0 , cos ⁡ t , sin ⁡ t

Calculando a derivada de γ t , temos

γ ' t = d cos ⁡ t d t , d 0 d t , d sin ⁡ t d t

γ ' t = - sin ⁡ t , 0 , cos ⁡ t

Substituindo F → γ t e γ ' t na integral sabendo que a = 0 e b = 2 π ...

W = ∫ a b F → γ t · γ ' t d t → ∫ 0 2 π 0 , cos ⁡ t , sin ⁡ t · - sin ⁡ t , 0 , cos ⁡ t d t

W = ∫ 0 2 π cos ⁡ t sin ⁡ t d t

Calculando essa integral, temos

∫ cos ⁡ t sin ⁡ t d t = sin 2 ⁡ t 2

Aplicando os limites de integração

∫ 0 2 π cos ⁡ t sin ⁡ t d t = sin 2 ⁡ 2 π 2 - sin 2 ⁡ 0 2

∫ 0 2 π cos ⁡ t sin ⁡ t d t = 0

Portanto, temos que

W = 0   J

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

W = 0   J

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Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:24. ∫ C y d x + z d y - x y d z , onde C é dada por y = s e nx ; z = 4 ; x ∈ [ 0,2 π ] .
Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:22. ∫ C d x + d y + d z , onde C é a intersecção das superfícies y + z = 5 e z = 4 - x 2 do ponto A ( 2 ,5 ,0 ) ao ponto B ( - 2 ,5 ,0 )
Calcule ∫ γ d x + x y d y + zd z , onde γ é a interseção de x 2 + y 2 + z 2 = 2 ,x ≥ 0 ,y ≥ 0 e z ≥ 0 , com o plano y = x ; o sentido do percurso é do ponto 0,0 , 2 para 1,1 , 0 .
Calcule a integral de linha ∫ C F → ∙ d r → , onde C é dada pela função vetorial r → t . F → x ,y = x + yi ^ + y - z j ^ + z 2k ^ r → t = t 2i ^ + t 3j ^ + t 2k ^ , 0 ≤ t ≤ 1
Determine uma função f tal que F → = ∇ f e Use a parte (a) para calcular ∫ C F → ⋅ d r → sobre a curva C dada. F → x , y = y 2 c o s c o szi → + 2 x y c o szj → - x y 2 s e nz k → ,C : r → t = t 2 i →