Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R³

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Enunciado

Calcule ∫ γ F → ∙ d r → , nos seguintes casos:

(c) F → = x y i → - y j → + k → ; γ é o segmento de reta da origem ao ponto A ( 1 ,   1 ,   1 ) .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral de linha, ∫ γ F → ∙ d r → , da função F → = x y i → - y j → + k → ; sobre a região γ , que é o segmento de reta da origem ao ponto A ( 1 ,   1 ,   1 ) .

Pra isso, precisamos lembrar que a integral de linha pode ser definida pela equação:

∫ γ F → ∙ d r → = ∫ a b F x t ,   y t ,   z ( t ) ∙ r → ' ( t ) d t

Onde r → ' ( t ) é a derivada da parametrização da curva γ e F x t ,   y t ,   z ( t ) é a nossa função vetorial aplicada na parametrização x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) .

Como temos uma reta que vai do ponto ( 0 ,   0 ,   0 ) até o ponto ( 1 ,   1 ,   1 ) , podemos usar a fórmula da parametrização da reta:

r → t = 1 - t r 0 + t ( r 1 )

Onde r 0 e r 1 são os pontos conhecidos. Substituindo os dois pontos dados, vamos obter:

r → t = ( t ,   t ,   t )

Com t variando no intervalo [ 0 ,   1 ] .

Vamos lá!

Passo 2

Usando as equações paramétricas do passo 1 , vamos derivar nosso vetor r → ( t ) :

r → ' t = ( 1 ,   1 ,   1 )

Aplicando nossa função F → = x y i → - y j → + k → na parametrização, temos:

F x t ,   y t ,   z ( t ) = ( t t ,   - t ,   1 )

F x t ,   y t ,   z ( t ) = ( t 2 ,   - t ,   1 )

Passo 3

Com as informações do passo anterior, vamos montar nossa integral de acordo com a fórmula:

∫ γ F → ∙ d r → = ∫ a b F x t ,   y t ,   z ( t ) ∙ r → ' ( t ) d t

= ∫ 0 1 ( t 2 , - t ,   1 ) ∙ ( 1 ,   1 ,   1 )   d t

Calculando o produto escalar entre os vetores do integrando, temos:

∫ 0 1 t 2 - t + 1   d t

Passo 4

Integrando usando a regrinha da potência ( ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 ), temos:

t 3 3 - t 2 2 + t 0 1

Aplicando os limites de integração:

1 3 3 - 1 2 2 + 1 - 0 3 3 + 0 2 2 - ( 0 )

= 1 3 - 1 2 + 1

= 2 - 3 + 6 6 = 5 6

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

5 6

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Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:22. ∫ C d x + d y + d z , onde C é a intersecção das superfícies y + z = 5 e z = 4 - x 2 do ponto A ( 2 ,5 ,0 ) ao ponto B ( - 2 ,5 ,0 )
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