Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R³

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Enunciado

Calcule ∫ γ F → ∙ d r → , nos seguintes casos:

(e) F → = z 2 i → + x 2 k → ; γ consiste do segmento de reta de ( 1 ,   0,1 ) a ( 2 ,   0 ,   1 ) , seguido do seguimento de reta de ( 2 ,   0 ,   1 ) a ( 2 ,   0 ,   4 ) .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral de linha, ∫ γ F → ∙ d r → , da função F → = z 2 i → + x 2 k → ; sobre a região γ , que é o segmento de reta de ( 1 ,   0,1 ) a ( 2 ,   0 ,   1 ) , seguido do seguimento de reta de ( 2 ,   0 ,   1 ) a ( 2 ,   0 ,   4 ) .

Pra isso, precisamos lembrar que a integral de linha pode ser definida pela equação:

∫ γ F → ∙ d r → = ∫ a b F x t ,   y t ,   z ( t ) ∙ r → ' ( t ) d t

Onde r → ' ( t ) é a derivada da parametrização da curva γ e F x t ,   y t ,   z ( t ) é a nossa função vetorial aplicada na parametrização x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) .

Nesse caso, vamos calcular a integral de linha pelo caminho ( 1 ,   0 ,   1 ) até ( 2 ,   0 ,   1 ) e depois somar com o resultado da integral de linha pelo caminho ( 2 ,   0 ,   1 ) a ( 2 ,   0 ,   4 ) .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar analisando o caminho do ponto ( 1 ,   0 ,   1 ) ao ponto ( 2 ,   0 ,   1 ) . Usando a fórmula da parametrização da reta:

r → = 1 - t r 0 + t ( r 1 )

Onde r 0 e r 1 são os pontos dados. Assim, vamos ter:

r → = 1 - t ( 1 ,   0 ,   1 ) + t ( 2 ,   0 ,   1 )

r → = ( 1 + t ,   0 ,   1 )

Então, temos x t = 1 + t , y t = 0 e z t = 1 . Assim, quando x = 1 , temos t = 0 e quando x = 2 , temos t = 1 . Esse é o intervalo de variação do nosso parâmetro, [ 0 ,   1 ] . E derivando r → ( t ) , vamos ter:

r → ' t = ( 1 ,   0 ,   0 )

Além disso, aplicando a parametrização na função vetorial F → = z 2 i → + x 2 k → , teremos:

F x t ,   y t ,   z t = ( 1 ,   0 ,   1 + t 2 )

F x t ,   y t ,   z t = ( 1 ,   0 ,   1 + 2 t + t 2 )

Passo 3

Agora indo do ponto ( 2 ,   0 ,   1 ) ao ponto ( 2 ,   0 ,   4 ) , vamos ter:

r → = 1 - t r 0 + t ( r 1 )

r → = 1 - t ( 2 ,   0 ,   1 ) + t ( 2 ,   0 ,   4 )

r → = ( 2 ,   0 ,   1 - 3 t )

Assim, quando z = 1 , temos t = 0 e quando z = 4 , temos t = - 1 . Então, aqui nosso parâmetro varia no intervalo [ 0 ,   - 1 ] . E derivando, vamos ter:

r → ' t = ( 0 ,   0 ,   - 3 )

Aplicando a parametrização na função F → = z 2 i → + x 2 k → , teremos:

F x t ,   y t ,   z t = ( 1 - 3 t 2 ,   0 ,   2 2 )

F x t ,   y t ,   z t = ( 1 - 6 t + 9 t 2 ,   0 ,   4 )

Passo 4

Calculando as integrais de linha pelos dois caminhos, usando ∫ γ F → ∙ d r → = ∫ a b F x t ,   y t ,   z ( t ) ∙ r → ' ( t ) d t , temos:

∫ 0 1 ( 1 ,   0 ,   1 + 2 t + t 2 ) ∙ 1 ,   0 ,   0   d t + ∫ 0 - 1 1 - 6 t + 9 t 2 ,   0 ,   4 ∙ 0 ,   0 ,   - 3   d t

Calculando o produto escalar entre os vetores do integrando:

∫ 0 1 ( 1 ) d t + ∫ 0 - 1 - 12 d t

Integrando as duas constantes:

t 0 1 + - 12 t 0 - 1

Aplicando os limites de integração:

1 - 0 + ( - 12 - 1 - - 12 0 )

1 + 12 = 13

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

13

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