Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R³

  1. Calcule ∫ C   3 x z   d x + 4 y z   d y + 2 x y   d z , do ponto A = 0 ,   0 ,   0 ao ponto B = 1 ,   1 ,   2 , ao longo dos seguintes cainhos:
  1. interseção das superfícies z = x 2 + y 2 e x = y .

Passo 1

Bem, antes do começarmos qualquer coisa, vamos colocar essa integral de linha de uma forma mais elegante.

Como você já pode notar, a integral de linha está assim ∫ C   3 x z   d x + 4 y z   d y + 2 x y   d z , certo? Só que esse formato é apenas outra forma de falar que estamos trabalhando uma integral de linha de um campo de vetores: ∫ C   F → x ,   y ,   z d r →

∫ C   3 x z   d x + 4 y z   d y + 2 x y   d z = ∫ C   F → x ,   y ,   z d r →

Onde esse F → x ,   y ,   z é o vetor...

F → x ,   y ,   z = 3 x z ,   4 y z ,   2 x y

Se buscamos a solução dessa integral de linha do modo diretão, nada mais justo que seguirmos o passo a passo maroto de resolução desse tipo de integral:

  1. Parametrizar a curva C que estamos trabalhando.
  2. Substituir os termos do campo vetorial F → x ,   y ,   z pelos termos da parametrização.
  3. Encontrar o termo d r → .

Então vem comigo nessa aventura! :D

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como vimos, necessitamos da parametrização dessa curva. Então repare no enunciado que essa curva está em cima de duas superfícies que tem equações explícitas. Isso só pode nos indicar que necessitamos de uma... Parametrização explícita:

Se chamarmos

x = t

Como y = x ...

y = t

z = x 2 + y 2 ... então:

z = t 2 + t 2 = 2 t 2

Logo, a parametrização da curva C que estamos trabalhando de uma forma mais elegante...

γ t = ( t ,   t ,   2 t 2 )

Como x é t e x está variando do ponto inicial 0 ,   0 ,   0   de x = 0 até o ponto final 1 ,   1 ,   2 onde x = 1 ...

0 ≤ t ≤ 1

Passo 3

Beleza! Agora devemos prosseguir substituindo no campo vetorial F → x ,   y ,   z , esse x , y e z pelos termos da parametrização:

F → x ,   y ,   z = 3 x z ,   4 y z ,   2 x y       →

Lembrando que x = t , y = t e z = 2 t 2 ...

F → γ t = 3 t 2 t 2 ,   4 t 2 t 2 ,   2 t 2   →

F → γ t = 6 t 3 ,   8 t 3 ,   2 t 2

Passo 4

Para encontrar o termo d r → , basta sabermos que facilmente o encontramos fazendo:

d r → = γ ' t d t

Como no caso a parametrização foi γ t = ( t ,   t ,   2 t ) , derivando cada termo do vetor em relação a t ...

γ t = ( t ,   t ,   2 t 2 )             →               γ ' t = 1 ,   1 ,   4 t

Logo...

d r → = 1 ,   1 ,   4 t d t

Passo 5

Voltando para a integral de linha que estamos trabalhando

∫ C   F → x ,   y ,   z d r →

e substituir todos os dados que obtivemos...

∫ C   F → x ,   y ,   z d r → = ∫ 0 1 6 t 3 ,   8 t 3 ,   2 t 2 ∙ 1 ,   1 ,   4 t d t

Não se esqueça de realizar esse produto escalar de vetores aí, heim!

∫ 0 1 6 t 3 ,   8 t 3 ,   2 t 2 ∙ 1 ,   1 ,   4 t d t = ∫ 0 1 1 ⋅ 6 t 3 + 1 ⋅ 8 t 3 + 4 t ⋅ 2 t 2   d t =

∫ 0 1 6 t 3 + 8 t 3 + 8 t 3   d t

Agora basta que resolva a integral e corra para o abraço!

∫ 0 1 22 t 3   d t = 22 t 4 4 0 1 =

11 2

Resposta

a ) 11 2

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