Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R³

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Enunciado

Considere o campo de vetores F → x , y , z = x 2 i ^ + x y   j ^ + z 2 k ^   e considere a curva C parametrizada pela função vetorial r → t = sin ⁡ t i ^ + cos 2 ⁡ t j ^ + t 2 k ^ com 0 ≤ t ≤ π 2 . Calculando a integral

∫ C F →   ∙ d r →

Obtemos:

  1. 0
  2. 1 960 64 + 5 π 6
  3. 1 960 64 + 25   π 4
  4. 1 960 128 + 5 π 6
  5. 1 960 6 + 25   π 6

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Mogli na área 😊. Bora responder Aí essa questão?

A questão nos pede para calcularmos a integral do trabalho

Sim, camarada! Se tomarmos F → como uma força, sabemos que a integral da força pelo infinitesimal do caminho é:

W = ∫ C F → ∙ d r →

E isso muda o que? Nada hashuahua, mas foi só por curiosidade.

Enfim, existem diversas formas de calcularmos essa integral, a mais conhecida e geral é parametrizarmos o caminho, e uma vez parametrizado o caminho temos que ver como que o campo de vetores reage à esse caminho parametrizado

Fica melhor colocando a formula, né? Hahaha

∫ C F →   ∙ d r → = ∫ a b F r → t r ' t d t

Sendo a e b os limites dados na parametrização de t .

Então já temos a faca e o queijo na mão... Vamos lanchar essa questão?!

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Além da faca e o queijo já temos tudo fatiado, viu só? A parametrização já vem pronta!!!

Então nosso papel é somente aplicar essa parametrização no campo de vetores e derivar a parametrização. Qual prefere primeiro? Pode fazer como quiser, eu prefiro primeiro derivar. Assim:

Lembra da função r → ( t ) ? Aqui está ela

r → t = sin ⁡ t i ^ + cos 2 ⁡ t j ^ + t 2 k ^

Derivando então:

d r d t = cos ⁡ t i ^ - 2 * sin ⁡ t * cos ⁡ t j ^ + 2 t   k ^

Agora aplicando r → t em F → . Lembra de F → ? Aqui está ela:

F → x , y , z = x 2 i ^ + x y   j ^ + z 2 k ^

Aplicando então:

F r → t = sin 2 ⁡ t i ^ + sin ⁡ t * cos 2 ⁡ t j ^ + t 4 k ^ )    

Agora basta a gente aplicar na integral.

Passo 3

Então:

∫ C F →   ∙ d r → = ∫ a b F r → t r ' t d t

Substituindo:

∫ a b F r → t r ' t d t = ∫ a b sin 2 ⁡ t i ^ + sin ⁡ t * cos 2 ⁡ t j ^ + t 4 k ^ ∙ cos ⁡ t i ^ - 2 * sin ⁡ t * cos ��� t j ^ + 2 t   k ^   d t

Aplicando o produto escalar:

∫ a b sin 2 ⁡ t i ^ + sin ⁡ t * cos 2 ⁡ t j ^ + t 4 k ^ ∙ cos ⁡ t i ^ - 2 * sin ⁡ t * cos ⁡ t j ^ + 2 t   k ^   d t = ∫ a b sin 2 ⁡ t * cos ⁡ t - 2 * sin 2 ⁡ t * cos 3 ⁡ t + 2 t 5 d t

Então temos:

∫ a b sin 2 ⁡ t * cos ⁡ t - 2 * sin 2 ⁡ t * cos 3 ⁡ t + 2 t 5 d t

Mas o que são a e b ? São os limites de t , eles foram dados no enunciado. Logo:

∫ 0 π 2 sin 2 ⁡ t * cos ⁡ t - 2 * sin 2 ⁡ t * cos 3 ⁡ t + 2 t 5 d t

E bom, agora nos basta calcularmos essa integral.

Passo 4

Temos então:

∫ 0 π 2 sin 2 ⁡ t * cos ⁡ t - 2 * sin 2 ⁡ t * cos 3 ⁡ t + 2 t 5 d t

Sabendo que a integral da soma é a soma das integrais, podemos fazer:

∫ 0 π 2 sin 2 ⁡ t * cos ⁡ t d t - ∫ 0 π 2 2 * sin 2 ⁡ t * cos 3 ⁡ t d t + ∫ 0 π 2 2 t 5 d t

Vamos separá-las em três integrais?

Para a primeira integral ∫ 0 π 2 sin 2 ⁡ t * cos ⁡ t d t :

Podemos fazer uma substituição para deixar isso mais simples, né? Façamos:

u = sin ⁡ t

Logo:

d u d t = c o s ⁡ ( t )

E lembre-se daqui até sempre: SEMPRE que fizemos uma substituição devemos ver como que os limites reagem a essa troca. Assim:

s e   t = 0 → u = sin ⁡ 0 → u = 0

s e   t = π 2 → u = sin ⁡ π 2 → u = 1

Assim a nossa integral fica:

∫ 0 π 2 sin 2 ⁡ t * cos ⁡ t d t = ∫ 0 1 u 2 d u

Bem mais fácil, né? Integrando em u :

∫ 0 1 u 2 d u = u 3 3 0 1 = 1 3

Resumindo:

∫ 0 π 2 sin 2 ⁡ t * cos ⁡ t d t = 1 3

E achamos o valor da nossa primeira integral.

Para a segunda integral ∫ 0 π 2 2 * sin 2 ⁡ t * cos 3 ⁡ t d t :

Podemos deixa-la mais simples, né? Sabemos que cos 2 ⁡ t = 1 - sin 2 ⁡ t , logo:

∫ 0 π 2 2 * sin 2 ⁡ t * cos 3 ⁡ t d t = ∫ 0 π 2 2 1 - sin 2 ⁡ t * sin 2 ⁡ t * cos ⁡ t d t

Como podemos deixar essa integral ainda mais bonita? Substituição, né?! Façamos:

u = s i n ⁡ ( t )

Logo:

d u d t = cos ⁡ t

E os novos limites:

s e   t = 0 → u = sin ⁡ 0 → u = 0

s e   t = π 2 → u = sin ⁡ π 2 → u = 1

Assim a nossa integral fica:

∫ 0 π 2 2 1 - sin 2 ⁡ t * sin 2 ⁡ t * cos ⁡ t d t = ∫ 0 1 2 1 - u 2 u 2 d u

Abrindo a fatoração:

∫ 0 1 2 u 2 - 2 u 4 d u

Integrando em u :

∫ 0 1 2 u 2 - 2 u 4 d u = 2 u 3 3 - u 5 5 0 1 = 2 1 3 - 1 5 = 4 15

Resumindo:

∫ 0 π 2 2 * sin 2 ⁡ t * cos 3 ⁡ t d t = 4 15

E achamos o resultado da nossa segunda integral.

Para a terceira e última integral ∫ 0 π 2 2 t 5 d t

Essa aqui é a mais simples, integrando em t :

∫ 0 π 2 2 t 5 d t = 2 t 6 6 0 π 2 = 1 3 π 2 6

E achamos o resultado da nossa integral.

Agora que temos o valor das nossas integrais podemos soma-las todas, vamos ver como fica:

∫ 0 π 2 sin 2 ⁡ t * cos ⁡ t d t - ∫ 0 π 2 2 * sin 2 ⁡ t * cos 3 ⁡ t d t + ∫ 0 π 2 2 t 5 d t = 1 3 - 4 15 + 1 3 π 2 6

Resultado bem feio, né? Como que podemos deixar isso parecido com alguma coisa que está nas alternativas? Podemos começar colocando o máximo divisor comum para que possamos deixar todos sobre um único divisor. Assim:

1 3 - 4 15 + 1 3 π 2 6 = 1 960 320 - 4 * 64 + 5 π 6 = 1 960 64 + 5 π 6

E aqui é o máximo que podemos ir próximo dos resultados aparecidos nas alternativas.

Ok, chegamos em um resultado, mas ele bate com algo das alternativas? SIM, IHULL. Ele é a alternativa (b). Lembre-se, se o pensamento todo está correto não tem porque o resultado não estar correto, se ainda assim não bater volte e reveja se não houve nenhum erro de conta ou passagem, mas segue firme convicto no seu resultado

Obrigado por vir até aqui junto comigo!

Resposta

Alternativa b

1 960 64 + 5 π 6

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Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:24. ∫ C y d x + z d y - x y d z , onde C é dada por y = s e nx ; z = 4 ; x ∈ [ 0,2 π ] .
Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:22. ∫ C d x + d y + d z , onde C é a intersecção das superfícies y + z = 5 e z = 4 - x 2 do ponto A ( 2 ,5 ,0 ) ao ponto B ( - 2 ,5 ,0 )
Calcule ∫ γ d x + x y d y + zd z , onde γ é a interseção de x 2 + y 2 + z 2 = 2 ,x ≥ 0 ,y ≥ 0 e z ≥ 0 , com o plano y = x ; o sentido do percurso é do ponto 0,0 , 2 para 1,1 , 0 .
Calcule a integral de linha ∫ C F.d r , onde C é dada pela função vetorial r t . F x ,y = x + yi + y - z j + z 2k, r t = t 2i + t 3j + t 2k,0 ≤ t ≤ 1
Determine uma função f tal que F → = ∇ f e Use a parte (a) para calcular ∫ C F → ⋅ d r → sobre a curva C dada. F → x , y = y 2 cos ⁡ z i → + 2 x y c o szj → - x y 2 s e nz k → ,C : r → t = t 2 i →s e