Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R³

Integrais de linha – caso vetorial

Seja γ t = cos ⁡ t , s e n   t ,   2 - s e n ( 2 t ) para t ∈ [ 0,2 π ] .

Calcule ∫ γ   F → . d r → , onde F → x , y , z = - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 , z 2 + y .

Passo 1

Bom, como a curva já está parametrizada, a primeira coisa a se fazer aqui é derivar essa parametrização: γ ' ( t ) = d cos ⁡ t d t , d s e n   t d t , d 2 - s e n ( 2 t ) d t = - s e n   t , cos ⁡ t , - 2 cos ⁡ ( 2 t )

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Passo 2

Podemos, então, substituir o que temos na fórmula abaixo. Escrevendo o campo em função da nossa parametrização:

F γ t = - s e n   t 1 , cos ⁡ t 1 , 2 - s e n 2 t 2 + s e n   t

Levando para a fórmula:

∫ γ   F x , y , z d s = ∫ a b F x t ,   y t , z t ⋅   σ → ' d t

Temos:

= ∫ 0 2 π - s e n   t 1 , cos ⁡ t 1 , 2 - s e n 2 t 2 + s e n   t . - s e n   t , cos ⁡ t , - 2 cos ⁡ ( 2 t ) d t =

= ∫ 0 2 π s e n 2   t + cos 2 ⁡ t - 2 cos ⁡ 2 t 4 - 4   s e n 2 t + s e n 2 2 t   - 2 cos ⁡ 2 t s e n   t   d t =

= ∫ 0 2 π 1 - 8 cos ⁡ 2 t + 8 cos ⁡ 2 t   s e n 2 t - 2 cos ⁡ 2 t s e n 2 2 t   - 2 cos ⁡ 2 t s e n   t   d t =

Passo 3

Agora falta resolver a integral né?

= t - 4   s e n 2 t - c o s 4 t + 1 3 s e n 3 ( 2 t ) 0 2 π - 2 ∫ 0 2 π cos ⁡ 2 t s e n   t   d t =

= 2 π - 2 ∫ 0 2 π cos ⁡ 2 t s e n t   d t =

Agora, nós vamos usar as seguintes relações de arco duplo:

cos ⁡ 2 t = cos 2 ⁡ ( t ) - s e n 2 ( t )

Isso nos dá

= 2 π - 2 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ t - s e n 2 t s e n t   d t =

= 2 π - 2 ∫ 0 2 π s e n t cos 2 ⁡ t - s e n 3 t   d t =

Reescrevendo

= 2 π - 2 ∫ 0 2 π s e n t cos 2 ⁡ t - s e n ( t ) s e n 2 t   d t =

= 2 π - 2 ∫ 0 2 π s e n t cos 2 ⁡ t - s e n t 1 - cos 2 ⁡ t d t =

= 2 π - 2 ∫ 0 2 π s e n t cos 2 ⁡ t - s e n t + s e n t cos 2 ⁡ ( t ) d t =

= 2 π - 2 ∫ 0 2 π 2 s e n t cos 2 ⁡ t - s e n t d t =

= 2 π - 2 - 2 3 cos 3 ⁡ t + c o s ⁡ ( t ) 0 2 π =

= 2 π =

Resposta

2 π

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